空間内に同一直線上にない3点O, A, Bと1点Pがある。平面αはO, A, Bを通る。$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{OP}=\vec{p}$とおき、$|\vec{a}|=\sqrt{2}$, $|\vec{b}|=\sqrt{2}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$, $\vec{p} \cdot \vec{a} = 2$, $\vec{p} \cdot \vec{b} = -2$とする。 (1) $\vec{p} - s\vec{a} - t\vec{b}$が平面αに垂直になるように実数s, tを定めよ。 (2) 平面αに関して点Pと対称な点をQとするとき、ベクトル$\overrightarrow{OQ}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{p}$を用いて表せ。 (3) 三角形OPQの面積が$\frac{2\sqrt{2}}{3}$のとき、$|\vec{p}|$を求めよ。

1. 問題の内容

空間内に同一直線上にない3点O, A, Bと1点Pがある。平面αはO, A, Bを通る。$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{OP}=\vec{p}$とおき、$|\vec{a}|=\sqrt{2}$, $|\vec{b}|=\sqrt{2}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$, $\vec{p} \cdot \vec{a} = 2$, $\vec{p} \cdot \vec{b} = -2$とする。

(1) $\vec{p} - s\vec{a} - t\vec{b}$が平面αに垂直になるように実数s, tを定めよ。

(2) 平面αに関して点Pと対称な点をQとするとき、ベクトル$\overrightarrow{OQ}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{p}$を用いて表せ。

(3) 三角形OPQの面積が$\frac{2\sqrt{2}}{3}$のとき、$|\vec{p}|$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{p} - s\vec{a} - t\vec{b}$が平面αに垂直であるから、$\vec{a}$と$\vec{b}$に垂直である。

したがって、

$(\vec{p} - s\vec{a} - t\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

$(\vec{p} - s\vec{a} - t\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$

これらの式を展開すると、

$\vec{p} \cdot \vec{a} - s|\vec{a}|^2 - t(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{b} - s(\vec{a} \cdot \vec{b}) - t|\vec{b}|^2 = 0$

与えられた値を代入すると、

$2 - 2s + t = 0$

$-2 + s - 2t = 0$

これらを連立して解くと、

$2s - t = 2$

$s - 2t = 2$

$4s - 2t = 4$

$s - 2t = 2$

$3s = 2$

$s = \frac{2}{3}$

$t = 2s - 2 = \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{3}$

(2) $\overrightarrow{OQ} = \vec{q}$とする。QはPと平面αに関して対称であるから、線分PQの中点Mは平面α上にある。

$\overrightarrow{OM} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$であり、Mは平面α上にあるので、$\overrightarrow{OM} = u\vec{a} + v\vec{b}$と表せる。

$\vec{q} - \vec{p}$は平面αに垂直であるから、$\vec{q} - \vec{p} = k(\vec{p} - s\vec{a} - t\vec{b})$と表せる。（(1)より$s = \frac{2}{3}, t = -\frac{2}{3}$）

ここで$\vec{q} = \vec{p} + k(\vec{p} - \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b})$

$\frac{\vec{p} + \vec{q}}{2} = u\vec{a} + v\vec{b}$

$\frac{2\vec{p} + k(\vec{p} - \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b})}{2} = u\vec{a} + v\vec{b}$

$(2+k)\vec{p} = (2u+\frac{2}{3}k)\vec{a} + (2v-\frac{2}{3}k)\vec{b}$

両辺の$\vec{a}$との内積を取ると $(2+k)\vec{p}\cdot\vec{a} = (2u+\frac{2}{3}k)|\vec{a}|^2 + (2v-\frac{2}{3}k)\vec{a}\cdot\vec{b}$

$(2+k)2 = (2u+\frac{2}{3}k)2 + (2v-\frac{2}{3}k)(-1)$

$(4+2k) = 4u+\frac{4}{3}k - 2v + \frac{2}{3}k$

$(2+k)\vec{p}\cdot\vec{b} = (2u+\frac{2}{3}k)\vec{a}\cdot\vec{b} + (2v-\frac{2}{3}k)|\vec{b}|^2$

$(2+k)(-2) = (2u+\frac{2}{3}k)(-1) + (2v-\frac{2}{3}k)(2)$

$-4-2k = -2u-\frac{2}{3}k + 4v-\frac{4}{3}k$

$4u-2v = 4+2k-\frac{6}{3}k = 4$

$-2u+4v = -4-2k+\frac{6}{3}k = -4$

$2u-v=2$

$-u+2v=-2$

$4u-2v=4$

$-u+2v=-2$

$3u=2$ よって $u=\frac{2}{3}$

$v = 2u-2 = \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{3}$

$\frac{\vec{p}+\vec{q}}{2} = \frac{2}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$

$\vec{q} = \frac{4}{3}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b} - \vec{p}$

(3) $\overrightarrow{OP} = \vec{p}, \overrightarrow{OQ} = \frac{4}{3}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b} - \vec{p}$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \frac{4}{3}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b} - 2\vec{p}$

三角形OPQの面積は、$\frac{1}{2}|\vec{p} \times \overrightarrow{OQ}| = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$|\vec{p} \times (\frac{4}{3}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b} - \vec{p})| = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

$|\vec{p} \times (\frac{4}{3}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b})| = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

$\frac{4}{3}|\vec{p} \times (\vec{a} - \vec{b})| = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

$|\vec{p} \times (\vec{a} - \vec{b})| = \sqrt{2}$

$|\vec{p}|^2|\vec{a}-\vec{b}|^2 - (\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{b}))^2 = 2$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 2 - 2(-1) + 2 = 6$

$\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{p}\cdot\vec{a} - \vec{p}\cdot\vec{b} = 2 - (-2) = 4$

$|\vec{p}|^2 \cdot 6 - 4^2 = 2$

$6|\vec{p}|^2 = 18$

$|\vec{p}|^2 = 3$

$|\vec{p}| = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $s = \frac{2}{3}, t = -\frac{2}{3}$

(2) $\overrightarrow{OQ} = \frac{4}{3}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b} - \vec{p}$

(3) $|\vec{p}| = \sqrt{3}$