直線 $x - 7y + 24 = 0$ が円 $x^2 - 2x + y^2 = 24$ によって切り取られる線分の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $x - 7y + 24 = 0$ が円 $x^2 - 2x + y^2 = 24$ によって切り取られる線分の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を変形して中心と半径を求めます。

$x^2 - 2x + y^2 = 24$

$(x^2 - 2x + 1) + y^2 = 24 + 1$

$(x - 1)^2 + y^2 = 25$

したがって、円の中心は $(1, 0)$ で、半径は $r = 5$ です。

(2) 円の中心から直線までの距離 $d$ を求めます。

点 $(x_0, y_0)$ から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

今回の場合、$(x_0, y_0) = (1, 0)$ で、直線は $x - 7y + 24 = 0$ なので、$a = 1, b = -7, c = 24$ です。

$d = \frac{|1(1) - 7(0) + 24|}{\sqrt{1^2 + (-7)^2}} = \frac{|1 + 24|}{\sqrt{1 + 49}} = \frac{25}{\sqrt{50}} = \frac{25}{5\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

(3) 切り取られる線分の長さを $l$ とすると、三平方の定理より、

$(\frac{l}{2})^2 + d^2 = r^2$

$(\frac{l}{2})^2 = r^2 - d^2$

$\frac{l}{2} = \sqrt{r^2 - d^2}$

$l = 2\sqrt{r^2 - d^2}$

$r = 5$ で $d = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ なので、

$l = 2\sqrt{5^2 - (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2} = 2\sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{4}} = 2\sqrt{25 - \frac{50}{4}} = 2\sqrt{25 - \frac{25}{2}} = 2\sqrt{\frac{50 - 25}{2}} = 2\sqrt{\frac{25}{2}} = 2 \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$5\sqrt{2}$