$xy$平面において、方程式 $y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$ で表される放物線の準線を求める問題です。

1. 問題の内容

$xy$平面において、方程式 $y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$ で表される放物線の準線を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を平方完成して、放物線の標準形に変形します。

$y^2 + 6y - 4x + 1 = 0$

$(y^2 + 6y) - 4x + 1 = 0$

$(y^2 + 6y + 9) - 9 - 4x + 1 = 0$

$(y + 3)^2 - 4x - 8 = 0$

$(y + 3)^2 = 4x + 8$

$(y + 3)^2 = 4(x + 2)$

この式は、頂点が $(-2, -3)$ で、$x$軸方向に開いた放物線を表しています。

一般的に、放物線 $(y - k)^2 = 4p(x - h)$ の頂点は $(h, k)$、焦点は $(h + p, k)$、準線は $x = h - p$ です。

この問題の場合、$h = -2$, $k = -3$, $4p = 4$ より $p = 1$ です。

したがって、準線の方程式は $x = h - p = -2 - 1 = -3$ となります。

3. 最終的な答え

$x = -3$