与えられた放物線の方程式 $y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$ の頂点の $y$ 座標を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた放物線の方程式 $y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$ の頂点の $y$ 座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $x$ について解きます。

$y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$

$4x = y^2 + 6y + 1$

$x = \frac{1}{4}y^2 + \frac{3}{2}y + \frac{1}{4}$

次に、$x$ を $y$ について平方完成します。

$x = \frac{1}{4}(y^2 + 6y) + \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{4}(y^2 + 6y + 9 - 9) + \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{4}((y+3)^2 - 9) + \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{4}(y+3)^2 - \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{4}(y+3)^2 - \frac{8}{4}$

$x = \frac{1}{4}(y+3)^2 - 2$

この式は、放物線が横向きで、頂点の座標が $(-2, -3)$ であることを示しています。

したがって、頂点の $y$ 座標は $-3$ です。

3. 最終的な答え

-3