(1) 3点 A(1, 1), B(3, 4), C(-5, 7) が与えられたとき、線分ABを3:2に内分する点P、3:2に外分する点Q、三角形ABCの重心Gの座標をそれぞれ求める。 (2) 2点 A(-1, -3) と B を結ぶ線分ABを2:3に内分する点Pの座標が(1, -1) であるとき、点Bの座標を求める。

1. 問題の内容

(1) 3点 A(1, 1), B(3, 4), C(-5, 7) が与えられたとき、線分ABを3:2に内分する点P、3:2に外分する点Q、三角形ABCの重心Gの座標をそれぞれ求める。

(2) 2点 A(-1, -3) と B を結ぶ線分ABを2:3に内分する点Pの座標が(1, -1) であるとき、点Bの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pは線分ABを3:2に内分するので、内分点の公式より、

$P = (\frac{3 \times 3 + 2 \times 1}{3 + 2}, \frac{3 \times 4 + 2 \times 1}{3 + 2}) = (\frac{9+2}{5}, \frac{12+2}{5}) = (\frac{11}{5}, \frac{14}{5})$

点Qは線分ABを3:2に外分するので、外分点の公式より、

$Q = (\frac{3 \times 3 - 2 \times 1}{3 - 2}, \frac{3 \times 4 - 2 \times 1}{3 - 2}) = (\frac{9-2}{1}, \frac{12-2}{1}) = (7, 10)$

三角形ABCの重心Gの座標は、各頂点の座標の平均なので、

$G = (\frac{1 + 3 + (-5)}{3}, \frac{1 + 4 + 7}{3}) = (\frac{-1}{3}, \frac{12}{3}) = (-\frac{1}{3}, 4)$

(2)

点Bの座標を(x, y)とする。点Pは線分ABを2:3に内分するので、内分点の公式より、

$P = (\frac{2x + 3 \times (-1)}{2 + 3}, \frac{2y + 3 \times (-3)}{2 + 3}) = (\frac{2x - 3}{5}, \frac{2y - 9}{5})$

点Pの座標は(1, -1)であるから、

$\frac{2x - 3}{5} = 1$

$2x - 3 = 5$

$2x = 8$

$x = 4$

$\frac{2y - 9}{5} = -1$

$2y - 9 = -5$

$2y = 4$

$y = 2$

よって、点Bの座標は(4, 2)である。

3. 最終的な答え

(1)

Pの座標: $(\frac{11}{5}, \frac{14}{5})$

Qの座標: $(7, 10)$

Gの座標: $(-\frac{1}{3}, 4)$

(2)

Bの座標: $(4, 2)$