xy平面上に3点O(0,0), A(-1,-2), B(1,-2)がある。線分OAを$(1-\alpha):\alpha$の比に分ける点をP、線分OBを$(1-\alpha):\alpha$の比に分ける点をQとする。さらに、線分PQを$\beta:(1-\beta)$の比に分ける点をR(x,y)とする。 (1) x, yを$\alpha$, $\beta$を用いてそれぞれ表せ。 (2) 実数$\alpha$, $\beta$が$0 \le \alpha \le 1$, $0 \le \beta \le 1$を動くとき、点Rの存在する範囲を図示せよ。

1. 問題の内容

xy平面上に3点O(0,0), A(-1,-2), B(1,-2)がある。線分OAを$(1-\alpha):\alpha$の比に分ける点をP、線分OBを$(1-\alpha):\alpha$の比に分ける点をQとする。さらに、線分PQを$\beta:(1-\beta)$の比に分ける点をR(x,y)とする。

(1) x, yを$\alpha$, $\beta$を用いてそれぞれ表せ。

(2) 実数$\alpha$, $\beta$が$0 \le \alpha \le 1$, $0 \le \beta \le 1$を動くとき、点Rの存在する範囲を図示せよ。

2. 解き方の手順

(1)

点Pは線分OAを$(1-\alpha):\alpha$に内分するので、

$\vec{OP} = (1-\alpha)\vec{OO} + \alpha \vec{OA} = \alpha \vec{OA} = \alpha (-1, -2) = (-\alpha, -2\alpha)$

よって、Pの座標は$(-\alpha, -2\alpha)$である。

点Qは線分OBを$(1-\alpha):\alpha$に内分するので、

$\vec{OQ} = (1-\alpha)\vec{OO} + \alpha \vec{OB} = \alpha \vec{OB} = \alpha (1, -2) = (\alpha, -2\alpha)$

よって、Qの座標は$(\alpha, -2\alpha)$である。

点Rは線分PQを$\beta:(1-\beta)$に内分するので、

$\vec{OR} = \beta \vec{OQ} + (1-\beta)\vec{OP} = \beta (\alpha, -2\alpha) + (1-\beta)(-\alpha, -2\alpha)$

$\vec{OR} = (\beta\alpha - \alpha + \beta\alpha, -2\beta\alpha -2\alpha + 2\beta\alpha) = (2\alpha\beta - \alpha, -2\alpha)$

よって、Rの座標は$(2\alpha\beta - \alpha, -2\alpha)$である。

したがって、

$x = 2\alpha\beta - \alpha$

$y = -2\alpha$

(2)

$y = -2\alpha$より、$\alpha = -\frac{y}{2}$

$0 \le \alpha \le 1$より、 $0 \le -\frac{y}{2} \le 1$ よって、$-2 \le y \le 0$

$x = 2\alpha\beta - \alpha = \alpha(2\beta - 1)$

$x = -\frac{y}{2} (2\beta - 1)$

$2\beta - 1 = -\frac{2x}{y}$

$2\beta = 1 - \frac{2x}{y}$

$\beta = \frac{1}{2} - \frac{x}{y}$

$0 \le \beta \le 1$より、 $0 \le \frac{1}{2} - \frac{x}{y} \le 1$

$-\frac{1}{2} \le -\frac{x}{y} \le \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2} \le \frac{x}{-y} \le \frac{1}{2}$

$\frac{y}{2} \le x \le -\frac{y}{2}$

$y = -2$のとき、$-1 \le x \le 1$

$y = 0$のとき、$x = 0$

求める範囲は、$-2 \le y \le 0$ かつ $\frac{y}{2} \le x \le -\frac{y}{2}$

これは、直線$y = 2x$, $y = -2x$, $y = -2$で囲まれた領域を表す。

図示すると、頂点が(0,0), (1,-2), (-1,-2)である三角形となる。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2\alpha\beta - \alpha$, $y = -2\alpha$

(2) 頂点が(0,0), (1,-2), (-1,-2)である三角形の領域（境界を含む）。