問題は、AB=AC=13, BC=10である三角形ABCの内部に、図のように接する円C1, C2, C3,... を順に作る。円Cnの中心をOn、面積をSnとする。 (1) 円C1の半径r1を求めよ。 (2) 円C2の半径r2を求めよ。 (3) S1+S2+S3+...+Snを求めよ。

## 29番の問題

1. 問題の内容

問題は、AB=AC=13, BC=10である三角形ABCの内部に、図のように接する円C1, C2, C3,... を順に作る。円Cnの中心をOn、面積をSnとする。

(1) 円C1の半径r1を求めよ。

(2) 円C2の半径r2を求めよ。

(3) S1+S2+S3+...+Snを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円C1の半径r1を求める。

三角形ABCは二等辺三角形なので、AからBCに垂線を下ろし、その交点をMとすると、BM = MC = 5。

三平方の定理より、$AM = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$。

三角形ABCの面積Sは、$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$。

また、三角形ABCの3辺の長さはa=10, b=13, c=13なので、内接円の半径rは、$r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{2 \times 60}{10+13+13} = \frac{120}{36} = \frac{10}{3}$。

円C1は三角形ABCの内接円なので、$r_1 = \frac{10}{3}$。

(2) 円C2の半径r2を求める。

円C1の中心をO1とすると、O1M = r1 = 10/3。

AO1 = AM - O1M = 12 - 10/3 = 26/3。

三角形AO1C2は、三角形ABCと相似である。相似比は、AO1 : AM = (26/3) : 12 = 26 : 36 = 13 : 18。

したがって、円C2の半径r2は、$r_2 = r_1 \times \frac{13}{18} = \frac{10}{3} \times \frac{13}{18} = \frac{130}{54} = \frac{65}{27}$。

(3) S1 + S2 + S3 + ... + Snを求める。

円の半径が等比数列をなすので、面積も等比数列をなす。

$r_1 = \frac{10}{3}$、$r_2 = \frac{65}{27}$、公比$q = \frac{r_2}{r_1} = \frac{65/27}{10/3} = \frac{65}{27} \times \frac{3}{10} = \frac{13}{18}$

面積の公比は、$q^2 = (\frac{13}{18})^2 = \frac{169}{324}$

$S_1 = \pi r_1^2 = \pi (\frac{10}{3})^2 = \frac{100\pi}{9}$

$S_1 + S_2 + S_3 + ... + S_n = \sum_{k=1}^{n} S_k = S_1 \frac{1-q^{2n}}{1-q^2}$

$S_1 + S_2 + S_3 + ... = \frac{S_1}{1-q^2} = \frac{100\pi/9}{1 - 169/324} = \frac{100\pi/9}{155/324} = \frac{100\pi}{9} \times \frac{324}{155} = \frac{100\pi}{1} \times \frac{36}{155} = \frac{3600\pi}{155} = \frac{720\pi}{31}$

3. 最終的な答え

(1) $r_1 = \frac{10}{3}$

(2) $r_2 = \frac{65}{27}$

(3) $\frac{720\pi}{31}$