2つの直線 $y = x + 4$ (直線①) と $y = -x + 8$ (直線②) がある。直線①と直線②の交点をA、直線②とx軸の交点をBとする。点Aからx軸に垂線ACを引き、線分AB上に点Pをとり、点Pからx軸に垂線PQを引く。 (1) 点Aと点Bの座標をそれぞれ求めよ。 (2) 台形ACQPの面積が16のとき、点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = x + 4$ (直線①) と $y = -x + 8$ (直線②) がある。直線①と直線②の交点をA、直線②とx軸の交点をBとする。点Aからx軸に垂線ACを引き、線分AB上に点Pをとり、点Pからx軸に垂線PQを引く。

(1) 点Aと点Bの座標をそれぞれ求めよ。

(2) 台形ACQPの面積が16のとき、点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点Aは直線①と直線②の交点なので、2つの式を連立させて解く。

$y = x + 4$

$y = -x + 8$

2つの式から$y$を消去すると

$x + 4 = -x + 8$

$2x = 4$

$x = 2$

これを$y = x + 4$に代入すると

$y = 2 + 4 = 6$

したがって、点Aの座標は(2, 6)である。

点Bは直線②とx軸の交点なので、$y = 0$を$y = -x + 8$に代入する。

$0 = -x + 8$

$x = 8$

したがって、点Bの座標は(8, 0)である。

(2)

点Pは線分AB上にあるので、点Pのx座標を$t$とすると、点Pは直線②上にあるから、点Pのy座標は$y = -t + 8$と表せる。

したがって、点Pの座標は$(t, -t+8)$となる。ここで、点Pは線分AB上にあるので、$2 < t < 8$である。

台形ACQPの面積は、$AC + PQ$を上底と下底、$CQ$を高さとする台形の面積として計算できる。

$AC = 6$ (点Aのy座標)

$PQ = -t + 8$ (点Pのy座標)

$CQ = t - 2$ (点Qのx座標 - 点Cのx座標)

台形ACQPの面積は

$\frac{1}{2} (AC + PQ) \times CQ = \frac{1}{2}(6 + (-t + 8)) \times (t - 2) = \frac{1}{2} (14 - t)(t - 2) = 16$

$(14 - t)(t - 2) = 32$

$14t - 28 - t^2 + 2t = 32$

$-t^2 + 16t - 60 = 0$

$t^2 - 16t + 60 = 0$

$(t - 6)(t - 10) = 0$

$t = 6, 10$

$2 < t < 8$ より、$t = 6$

したがって、点Pの座標は$(6, -6 + 8) = (6, 2)$である。

3. 最終的な答え

(1) A(2, 6), B(8, 0)

(2) (6, 2)