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直角を挟む2辺の長さが13cm, 15cmの直角三角形ABCがある。点Pは点Aを、点Qは点Bをそれぞれ同時に出発し、点Pは辺AC上をCまで、点Qは辺BC上をCまで、どちらも毎秒1cmの速さで進む。三角形PBQの面積が20 cm$^2$になるのは、出発してから何秒後か求める。

幾何学三角形面積二次方程式三平方の定理
2025/7/25

1. 問題の内容

直角を挟む2辺の長さが13cm, 15cmの直角三角形ABCがある。点Pは点Aを、点Qは点Bをそれぞれ同時に出発し、点Pは辺AC上をCまで、点Qは辺BC上をCまで、どちらも毎秒1cmの速さで進む。三角形PBQの面積が20 cm2^2になるのは、出発してから何秒後か求める。

2. 解き方の手順

出発してtt秒後の点P, Qの位置を考える。
点PはAC上を毎秒1cmで進むので、AP=tAP = t cm。よって、PC=13−tPC = 13 - t cm。
点QはBC上を毎秒1cmで進むので、BQ=tBQ = t cm。よって、QC=15−tQC = 15 - t cm。
三角形ABCの面積は、
12×15×13=1952\frac{1}{2} \times 15 \times 13 = \frac{195}{2} cm2^2
三角形PBQの面積は、三角形ABCの面積から、三角形ABP、三角形PCQ、三角形BQCの面積を引いたものに等しい。
三角形ABPの面積は、
12×AB×AP×sin⁡(∠BAC)\frac{1}{2} \times AB \times AP \times \sin(\angle BAC)
=12×BQ×BC×sin⁡(∠ABC)= \frac{1}{2} \times BQ \times BC \times \sin (\angle ABC)
=12×t×13=132t= \frac{1}{2} \times t \times 13 = \frac{13}{2} t cm2^2
三角形PCQの面積は、
12×PC×QC=12(13−t)(15−t)=12(195−28t+t2)\frac{1}{2} \times PC \times QC = \frac{1}{2} (13 - t)(15 - t) = \frac{1}{2} (195 - 28t + t^2) cm2^2
三角形BQCの面積は、
12×13−t×t\frac{1}{2} \times 13 - t \times t
=12×BQ×BC=12×BQ×BC= \frac{1}{2} \times BQ \times BC = \frac{1}{2} \times BQ \times BC
=12×15t=152t= \frac{1}{2} \times 15 t = \frac{15}{2} t cm2^2
したがって、三角形PBQの面積は、
1952−132t−1952+14t−t22−152t=20\frac{195}{2} - \frac{13}{2}t - \frac{195}{2} + 14t - \frac{t^2}{2} - \frac{15}{2}t = 20
−t22+(14−132−152)t=20-\frac{t^2}{2} + (14 - \frac{13}{2} - \frac{15}{2})t = 20
−t22+(14−14)t=20-\frac{t^2}{2} + (14 - 14)t = 20
−t22=20-\frac{t^2}{2} = 20
t2−28t+40=0t^2 - 28t + 40 = 0
28t−t22=2028t - \frac{t^2}{2} = 20
14t−t22=2014t - \frac{t^2}{2} = 20
t2−28t+40=0t^2 - 28t + 40 = 0
△PBQ=△ABC−△ABP−△BQC−△PQC\triangle PBQ = \triangle ABC - \triangle ABP - \triangle BQC - \triangle PQC
20=12(13)(15)−12(t)(13)−12(t)(15)−12(13−t)(15−t)20 = \frac{1}{2}(13)(15) - \frac{1}{2}(t)(13) - \frac{1}{2}(t)(15) - \frac{1}{2}(13-t)(15-t)
40=195−13t−15t−(195−13t−15t+t2)40 = 195 - 13t - 15t - (195 - 13t - 15t + t^2)
40=195−13t−15t−195+13t+15t−t240 = 195 - 13t - 15t - 195 + 13t + 15t - t^2
40=−t240 = -t^2
t2=40t^2 = 40
t2−40=0t^2 - 40 = 0
t2−0t−40=0t^2 - 0t - 40 = 0
t=−(−28)±(−28)2−4(1)(40)2t = \frac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4(1)(40)}}{2}
=28±784−1602= \frac{28 \pm \sqrt{784 - 160}}{2}
=28±6242= \frac{28 \pm \sqrt{624}}{2}
=28±4392= \frac{28 \pm 4\sqrt{39}}{2}
=14±239= 14 \pm 2\sqrt{39}
ここで、 tt は 0≤t≤130 \le t \le 13 および 0≤t≤150 \le t \le 15を満たす必要があるので、0≤t≤130 \le t \le 13を満たす必要がある。
39≈6.24\sqrt{39} \approx 6.24なので、 239≈12.482\sqrt{39} \approx 12.48である。
14+239≈14+12.48=26.48>1314 + 2\sqrt{39} \approx 14 + 12.48 = 26.48 > 13
14−239≈14−12.48=1.52<1314 - 2\sqrt{39} \approx 14 - 12.48 = 1.52 < 13
したがって、t=14−239t = 14 - 2\sqrt{39}

3. 最終的な答え

14−23914 - 2\sqrt{39} 秒後

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