## 12.4 (1)の問題

## 12.4 (1)の問題

12.4 (1) は、円の中心Oと、円周上の点A, B, C, D, E, Fがある図において、$\angle x$と$\angle y$の大きさを求める問題です。ただし、$AB = CD$です。また、$\angle AFB = 30^{\circ}$です。

## 12.4 (1)の解き方の手順

1. 円周角の定理より、$\angle AOB = 2\angle AFB = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$です。

2. $AB = CD$ より、$\angle AOB = \angle COD = 60^{\circ}$ です。

3. したがって、$\angle y = \angle BOC = 180^{\circ} - (\angle AOB + \angle COD) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ です。

4. $\angle x = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$ です。

## 12.4 (1)の最終的な答え

$\angle x = 30^{\circ}$

$\angle y = 60^{\circ}$

## 12.4 (2)の問題

12.4 (2)は、円の中心Oと、円周上の点A, B, C, D, E, Fがある図において、$\angle x$と$\angle y$の大きさを求める問題です。ただし、弧AFの長さは10cm、弧CDの長さは2cm、$\angle AFO = 50^{\circ}$です。

## 12.4 (2)の解き方の手順

1. 円弧の長さの比は中心角の比に等しいので、$\angle AOF : \angle COD = 10 : 2 = 5 : 1$ です。よって、$\angle COD = \frac{1}{5} \angle AOF$となります。

2. $\angle AOF$の中心角は、円周角$\angle AEF$の2倍です。$\angle AEF = \angle AFO = 50^\circ$なので$\angle AOF = 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ}$です。

3. $\angle COD = \frac{1}{5} \times 100^{\circ} = 20^{\circ}$ です。

4. $\angle x$は$\angle AOF$の円周角なので、$\angle x = \frac{1}{2}\angle AOF = \frac{1}{2} \times 100^{\circ} = 50^{\circ}$です。

5. $\angle y$は$\angle COD$の円周角なので、$\angle y = \frac{1}{2}\angle COD = \frac{1}{2} \times 20^{\circ} = 10^{\circ}$です。

## 12.4 (2)の最終的な答え

$\angle x = 50^{\circ}$

$\angle y = 10^{\circ}$

## 12.5 (1)の問題

右の図において、$\angle BAC = 45^{\circ}$, $\angle APD = 70^{\circ}$として、$\angle BDP$の大きさを求める問題です。

## 12.5 (1)の解き方の手順

1. $\triangle APD$において、$\angle PAD + \angle ADP + \angle APD = 180^{\circ}$が成り立ちます。

$\angle PAD = \angle BAC = 45^{\circ}$と$\angle APD = 70^{\circ}$より、$\angle ADP = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 70^{\circ} = 65^{\circ}$となります。

$\angle BDP = \angle ADP = 65^{\circ}$です。

## 12.5 (1)の最終的な答え

$\angle BDP = 65^{\circ}$

## 12.5 (2)の問題

右の図において、$\angle BAC = 45^{\circ}$, $\angle APD = 70^{\circ}$として、$\angle PBD$の大きさを求める問題です。

## 12.5 (2)の解き方の手順

1. 円周角の定理より、$\angle BCD = \angle BAC = 45^{\circ}$です。

2. $\triangle PCD$において、$\angle CPD = \angle APD = 70^{\circ}$なので、$\angle PDC + \angle PCD + \angle CPD = 180^{\circ}$が成り立ちます。

よって、$\angle PCD = 180^{\circ} - \angle PDC - \angle CPD = 180^{\circ} - \angle BDP - \angle APD = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 70^{\circ} = 45^{\circ}$となります。

$\angle PBD = \angle PCD = 45^\circ$です。

## 12.5 (2)の最終的な答え

$\angle PBD = 45^{\circ}$

## 12.5 (3)の問題

右の図において、$\angle BAC = 45^{\circ}$, $\angle APD = 70^{\circ}$として、太線で示した弧BCの長さの、円周の長さに対する比を求める問題です。

## 12.5 (3)の解き方の手順

1. $\angle BAC = 45^\circ$なので、$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$です。

2. 円周の長さに対する弧BCの長さの比は、中心角の比に等しいので、

(弧BCの長さ) : (円周の長さ) = $\angle BOC$ : $360^{\circ}$ = $90^{\circ}$ : $360^{\circ}$ = 1 : 4となります。

## 12.5 (3)の最終的な答え

1 : 4