与えられた三角形 $ABC$ について、以下の各場合における外接円の半径 $R$ を求めます。 (1) $a=4$, $A=45^\circ$ (2) $c=6$, $C=90^\circ$ (3) $a=10$, $A=120^\circ$

1. 問題の内容

与えられた三角形 $ABC$ について、以下の各場合における外接円の半径 $R$ を求めます。

(1) $a=4$, $A=45^\circ$

(2) $c=6$, $C=90^\circ$

(3) $a=10$, $A=120^\circ$

2. 解き方の手順

正弦定理を利用して外接円の半径 $R$ を求めます。正弦定理は、三角形の辺の長さとその対角の正弦の比が一定であるという定理で、次のように表されます。

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\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

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ここで、$R$ は外接円の半径です。

(1) $a=4$, $A=45^\circ$ の場合

$\sin A = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、正弦定理より

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2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}

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したがって、

$R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

(2) $c=6$, $C=90^\circ$ の場合

$\sin C = \sin 90^\circ = 1$ であるから、正弦定理より

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2R = \frac{c}{\sin C} = \frac{6}{1} = 6

$$$$

したがって、

$R = \frac{6}{2} = 3$

(3) $a=10$, $A=120^\circ$ の場合

$\sin A = \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、正弦定理より

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2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}

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したがって、

$R = \frac{20\sqrt{3}}{6} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $R = 2\sqrt{2}$

(2) $R = 3$

(3) $R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$