点 $P_1(1, 2)$ と $P_2(-2, -2)$ を原点の周りに $-\frac{\pi}{3}$ だけ回転させた後の点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $P_1(1, 2)$ と $P_2(-2, -2)$ を原点の周りに $-\frac{\pi}{3}$ だけ回転させた後の点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

原点の周りに角度 $\theta$ だけ回転させる回転行列は、次のように表されます。

$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

今回の問題では、$\theta = -\frac{\pi}{3}$ です。したがって、回転行列は次のようになります。

$R(-\frac{\pi}{3}) = \begin{pmatrix} \cos(-\frac{\pi}{3}) & -\sin(-\frac{\pi}{3}) \\ \sin(-\frac{\pi}{3}) & \cos(-\frac{\pi}{3}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{3}) & \sin(\frac{\pi}{3}) \\ -\sin(\frac{\pi}{3}) & \cos(\frac{\pi}{3}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

それぞれの点を回転させるには、点の座標ベクトルに回転行列を左からかけます。

$P_1(1, 2)$ を回転させた後の座標 $P_1'$ は、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \sqrt{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \end{pmatrix}$

$P_2(-2, -2)$ を回転させた後の座標 $P_2'$ は、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} - 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$P_1(1, 2)$ を $-\frac{\pi}{3}$ だけ回転させた点の座標は $(\frac{1}{2} + \sqrt{3}, 1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$ です。

$P_2(-2, -2)$ を $-\frac{\pi}{3}$ だけ回転させた点の座標は $(-1 - \sqrt{3}, \sqrt{3} - 1)$ です。