三角形ABCの外心Oが与えられており、$\angle BAC = 20^\circ$、$\angle ACB = 35^\circ$です。$\angle ABC = x$ の大きさを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心Oが与えられており、$\angle BAC = 20^\circ$、$\angle ACB = 35^\circ$です。$\angle ABC = x$ の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$\angle ABC = x = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB) = 180^\circ - (20^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$。

外心Oは三角形ABCの外接円の中心なので、OA=OBです。したがって、三角形OABは二等辺三角形であり、$\angle OAB = \angle OBA$。

$\angle OAB = 20^\circ$ なので、$\angle OBA = 20^\circ$。

同様に、OC=OAなので、三角形OACは二等辺三角形であり、$\angle OAC = \angle OCA$。

$\angle OCA = 35^\circ$ なので、$\angle OAC = 35^\circ$。

$\angle BOC = 2 \times \angle BAC = 2 \times 20^\circ = 40^\circ$

$\angle AOB = 2 \times \angle ACB = 2 \times 35^\circ = 70^\circ$

$\angle AOC = 2 \times \angle ABC$

$\angle ABC$ は $\angle x$ なので、$x = \angle ABO + \angle CBO$

$\angle BAO = \angle ABO = 20^\circ$

$\angle ACO = \angle CAO = 35^\circ$

$\angle BCO = \angle CBO$

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$ なので、

$20^\circ + x + 35^\circ = 180^\circ$

$x = 180^\circ - (20^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$

三角形ABCの外心Oについて、$\angle BOC = 2\angle BAC$, $\angle AOC = 2\angle ABC$, $\angle AOB = 2\angle ACB$が成り立つ。

$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \times 35^{\circ} = 70^{\circ}$

$\angle BOC = 2\angle BAC = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$

$\angle AOC = 360^{\circ} - (\angle AOB + \angle BOC) = 360^{\circ} - (70^{\circ} + 40^{\circ}) = 360^{\circ} - 110^{\circ} = 250^{\circ}$

$\angle ABC = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{250^{\circ}}{2} = 125^{\circ}$

3. 最終的な答え

125°