点Oは三角形ABCの外心であり、$\angle BAC = 70^\circ$, $\angle ABO = 30^\circ$のとき、$\angle P$の大きさを求める問題です。ここで、点Pは線分BOを延長した直線と線分BCの交点です。

幾何学三角形外心角度
2025/7/26

1. 問題の内容

点Oは三角形ABCの外心であり、BAC=70\angle BAC = 70^\circ, ABO=30\angle ABO = 30^\circのとき、P\angle Pの大きさを求める問題です。ここで、点Pは線分BOを延長した直線と線分BCの交点です。

2. 解き方の手順

(1) 外心の性質から、OA=OBOA = OB なので、三角形OABは二等辺三角形です。
(2) OAB=OBA=30\angle OAB = \angle OBA = 30^\circ です。
(3) BAC=70\angle BAC = 70^\circ なので、OAC=BACOAB=7030=40\angle OAC = \angle BAC - \angle OAB = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ です。
(4) 外心の性質から、OA=OCOA = OC なので、三角形OACは二等辺三角形です。
(5) よって、OCA=OAC=40\angle OCA = \angle OAC = 40^\circ です。
(6) ACB=OCA\angle ACB = \angle OCA なので、ACB=40\angle ACB = 40^\circ です。
(7) 三角形ABCの内角の和は180°なので、ABC=180BACACB=1807040=70\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ です。
(8) OBC=ABCABO=7030=40\angle OBC = \angle ABC - \angle ABO = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ です。
(9) 三角形OBCは二等辺三角形なので、OCB=OBC=40\angle OCB = \angle OBC = 40^\circ です。
(10) BOC=180OBCOCB=1804040=100\angle BOC = 180^\circ - \angle OBC - \angle OCB = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ です。
(11) AOB=180OABOBA=1803030=120\angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ です。
(12) AOB\angle AOBBOC\angle BOCは線分OCに関して隣り合っているため、AOC=2ABC=2×70=140\angle AOC=2\angle ABC=2 \times 70^\circ = 140^\circ
(13) P\angle Pは三角形OBCの外角であるため、P=OBC+BOC=40+OCB\angle P = \angle OBC + \angle BOC = 40^\circ + \angle OCB です。
(14) P=BOC+OCB=100+40\angle P= \angle BOC + \angle OCB = 100^\circ + 40^\circでは無い。P=BOC\angle P = \angle BOCからでは無い。
外心Oから各頂点までの距離は等しいので、OA=OB=OCOA=OB=OC
三角形OABにおいて、OA=OBOA=OBより、OAB=OBA=30\angle OAB=\angle OBA=30^\circ
BAC=70\angle BAC = 70^\circより、OAC=BACOAB=7030=40\angle OAC = \angle BAC - \angle OAB = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ
三角形OACにおいて、OA=OCOA=OCより、OCA=OAC=40\angle OCA = \angle OAC = 40^\circ
したがって、ACB=40\angle ACB = 40^\circ
三角形ABCの内角の和は、180180^\circなので
ABC=180BACACB=1807040=70\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ
OBC=ABCABO=7030=40\angle OBC = \angle ABC - \angle ABO = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ
三角形OBCにおいて、OB=OCOB=OCより、OCB=OBC=40\angle OCB = \angle OBC = 40^\circ
BOC=180OBCOCB=1804040=100\angle BOC = 180^\circ - \angle OBC - \angle OCB = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ
P\angle Pは三角形OBCの外角なので、P=OBC+BOC=OCB+BOC\angle P = \angle OBC + \angle BOC = \angle OCB + \angle BOCではない。
OPC=OBC+OCB=40+40=80\angle OPC = \angle OBC + \angle OCB= 40+40=80
BOP=180BOC=180100=80\angle BOP= 180-\angle BOC=180-100=80
P=OBC+OCB=80\angle P = \angle OBC +\angle OCB =80

3. 最終的な答え

P=100\angle P = 100

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