点Oが三角形ABCの外心であるとき、$\angle BAC = 70^\circ$、$\angle ABO = 50^\circ$ のとき、$\angle P$ を求めなさい。ここで、Pは線分AOを延長した直線と辺BCの交点である。

1. 問題の内容

点Oが三角形ABCの外心であるとき、$\angle BAC = 70^\circ$、$\angle ABO = 50^\circ$ のとき、$\angle P$ を求めなさい。ここで、Pは線分AOを延長した直線と辺BCの交点である。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 70^\circ$ であることから、$\angle BOC = 2 \times \angle BAC = 2 \times 70^\circ = 140^\circ$ であることがわかります (外心における中心角の定理)。

次に、三角形ABOにおいて、AO = BO (外心の性質) より、三角形ABOは二等辺三角形です。したがって、$\angle BAO = \angle ABO = 50^\circ$。

したがって、$\angle OAC = \angle BAC - \angle BAO = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ$。

ここで、三角形OBCに着目すると、OB = OC (外心の性質) より、三角形OBCは二等辺三角形です。

よって、$\angle OBC = \angle OCB$ です。

$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$ より、

$2\angle OBC = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$

$\angle OBC = 20^\circ$。

したがって、$\angle OCB = 20^\circ$。

ここで、$\angle P = \angle OCP$ ですから、$\angle P = 20^\circ$。

3. 最終的な答え

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