点Oが三角形ABCの外心であるとき、$\angle BAC = 60^\circ$、$\angle ABO = 17^\circ$ のとき、$\angle P$ (すなわち $\angle OBC$)を求めよ。

1. 問題の内容

点Oが三角形ABCの外心であるとき、$\angle BAC = 60^\circ$、$\angle ABO = 17^\circ$ のとき、$\angle P$ (すなわち $\angle OBC$)を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、外心の性質から、OA = OB = OC である。

したがって、三角形OABは二等辺三角形であるため、$\angle OAB = \angle OBA = 17^\circ$ である。

$\angle BAC = 60^\circ$ であるから、$\angle OAC = \angle BAC - \angle OAB = 60^\circ - 17^\circ = 43^\circ$ である。

三角形OACも二等辺三角形であるため、$\angle OCA = \angle OAC = 43^\circ$ である。

三角形ABCの内角の和は180°であるから、$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$ である。

よって、$\angle ABC + \angle BCA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ である。

ここで、$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 17^\circ + \angle OBC$、$\angle BCA = \angle BCO + \angle OCA = \angle BCO + 43^\circ$ である。

OB=OCなので、三角形OBCは二等辺三角形であり、$\angle OBC = \angle OCB$ である。

したがって、$\angle ABC + \angle BCA = (17^\circ + \angle OBC) + (\angle OBC + 43^\circ) = 2\angle OBC + 60^\circ = 120^\circ$

$2\angle OBC = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$

$\angle OBC = 30^\circ$

3. 最終的な答え

30