点$P_1(1, 2)$と$P_2(-2, -2)$を原点のまわりに$-\frac{\pi}{3}$だけ回転させたときの座標を求めます。

1. 問題の内容

点$P_1(1, 2)$と$P_2(-2, -2)$を原点のまわりに$-\frac{\pi}{3}$だけ回転させたときの座標を求めます。

2. 解き方の手順

原点のまわりに角度$\theta$だけ回転させる回転行列は

$$

\begin{pmatrix}

\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\

\sin{\theta} & \cos{\theta}

\end{pmatrix}

$$

で表されます。今回は$\theta = -\frac{\pi}{3}$なので、回転行列は

$$

\begin{pmatrix}

\cos{(-\frac{\pi}{3})} & -\sin{(-\frac{\pi}{3})} \\

\sin{(-\frac{\pi}{3})} & \cos{(-\frac{\pi}{3})}

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

\cos{(\frac{\pi}{3})} & \sin{(\frac{\pi}{3})} \\

-\sin{(\frac{\pi}{3})} & \cos{(\frac{\pi}{3})}

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\

-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}

\end{pmatrix}

$$

となります。

点$P_1(1, 2)$を$-\frac{\pi}{3}$だけ回転させた点を$(x_1, y_1)$とすると

$$

\begin{pmatrix}

x_1 \\ y_1

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\

-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

1 \\ 2

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

\frac{1}{2} + \sqrt{3} \\

-\frac{\sqrt{3}}{2} + 1

\end{pmatrix}

$$

よって、$P_1$を回転させた点の座標は$(\frac{1}{2} + \sqrt{3}, 1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$です。

点$P_2(-2, -2)$を$-\frac{\pi}{3}$だけ回転させた点を$(x_2, y_2)$とすると

$$

\begin{pmatrix}

x_2 \\ y_2

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\

-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

-2 \\ -2

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-1 - \sqrt{3} \\

\sqrt{3} - 1

\end{pmatrix}

$$

よって、$P_2$を回転させた点の座標は$(-1 - \sqrt{3}, \sqrt{3} - 1)$です。

3. 最終的な答え

$P_1(1, 2)$を$-\frac{\pi}{3}$だけ回転させた点の座標は$(\frac{1}{2} + \sqrt{3}, 1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$

$P_2(-2, -2)$を$-\frac{\pi}{3}$だけ回転させた点の座標は$(-1 - \sqrt{3}, \sqrt{3} - 1)$