点 $P_1(1, 2)$ と $P_2(-2, -2)$ を原点のまわりに $-\frac{\pi}{3}$ だけ回転させたときの座標を求める問題です。回転行列 $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ を用いて計算します。

1. 問題の内容

点 $P_1(1, 2)$ と $P_2(-2, -2)$ を原点のまわりに $-\frac{\pi}{3}$ だけ回転させたときの座標を求める問題です。回転行列 $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ を用いて計算します。

2. 解き方の手順

まず、回転行列 $R(-\frac{\pi}{3})$ を求めます。

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、回転行列 $R(-\frac{\pi}{3})$ は次のようになります。

$R(-\frac{\pi}{3}) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

次に、$P_1(1, 2)$ を回転させます。

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \sqrt{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1 + 2\sqrt{3}}{2} \\ \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

したがって、$P_1$ の回転後の座標は $(\frac{1 + 2\sqrt{3}}{2}, \frac{2 - \sqrt{3}}{2})$です。

次に、$P_2(-2, -2)$ を回転させます。

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} - 1 \end{pmatrix}$

したがって、$P_2$ の回転後の座標は $(-1 - \sqrt{3}, \sqrt{3} - 1)$です。

3. 最終的な答え

$P_1$ の回転後の座標: $(\frac{1 + 2\sqrt{3}}{2}, \frac{2 - \sqrt{3}}{2})$

$P_2$ の回転後の座標: $(-1 - \sqrt{3}, \sqrt{3} - 1)$