$\triangle ABC$において、$b=\sqrt{2}$、$A=60^{\circ}$、$C=75^{\circ}$のとき、以下の値を求めます。 (1) $B$ (2) 外接円の半径$R$ (3) 辺BCの長さ$a$

はい、承知いたしました。写真に写っている例題3を解きます。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$b=\sqrt{2}$、$A=60^{\circ}$、$C=75^{\circ}$のとき、以下の値を求めます。

(1) $B$

(2) 外接円の半径$R$

(3) 辺BCの長さ$a$

2. 解き方の手順

(1) $B$を求める

三角形の内角の和は$180^{\circ}$なので、

$B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 75^{\circ}) = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$

(2) 外接円の半径$R$を求める

正弦定理より、$\frac{b}{\sin B} = 2R$なので、

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = 2R$

$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$であるから、

$2R = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$

よって、$R = \frac{2}{2} = 1$

(3) 辺BCの長さ$a$を求める

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$なので、

$a = 2R \sin A$

$a = 2 \times 1 \times \sin 60^{\circ}$

$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$であるから、

$a = 2 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $B = 45^{\circ}$

(2) $R = 1$

(3) $a = \sqrt{3}$