図に示された情報を利用して、$\sin 15^\circ$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

図に示された情報を利用して、$\sin 15^\circ$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形 ACD に注目します。$\angle ACD = 60^\circ$, $\angle ADC = 60^\circ$ なので、$\angle CAD = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$ となり、三角形 ACD は正三角形です。したがって、$AC = CD = AD = 1$ です。

次に、三角形 ABD に注目します。$\angle ADB = 60^\circ$ であり、$\angle BAD = 15^\circ$ です。したがって、$\angle ABD = 180^\circ - 15^\circ - 60^\circ = 105^\circ$ です。

$\angle ABC = \angle ACB = 60^\circ$ なので、三角形 ABC は正三角形です。したがって、$AB = AC = BC = 1$ となります。

ここで、線分 BD の長さを求めます。$\angle ABD = 105^\circ$ なので、$\angle DBC = 105^\circ - 60^\circ = 45^\circ$ となります。三角形 BCD において、$\angle BCD = 60^\circ$ 、$\angle BDC = 60^\circ$、$\angle DBC = 45^\circ$ ということはあり得ないため、図の角度が正しくないことがわかります。

しかし問題文に従い、$\angle BDA = 60^\circ$、$\angle DAB = 15^\circ$であるとして$\sin 15^\circ$を求めます。

三角形 ABD において、正弦定理を用いると、

$\frac{BD}{\sin 15^\circ} = \frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{AD}{\sin 105^\circ}$

ここで、$AD = 1$、$AB = 1$ なので、

$\frac{BD}{\sin 15^\circ} = \frac{1}{\sin 60^\circ}$

$BD = \frac{\sin 15^\circ}{\sin 60^\circ}$

また、$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\frac{1}{\sin 105^\circ} = \frac{BD}{\sin 15^\circ}$

なので、$BD = \frac{\sin 15^\circ}{\sin 105^\circ}$

正弦定理の式から

$\frac{AB}{\sin(60^\circ)} = \frac{BD}{\sin(15^\circ)}$

$BD = CD - BC = 1 - BC$

$BC=AB=1$ です。

$CD = 1$

$1 - BC = \frac{\sin 15^\circ}{\sin 60^\circ}$

$1-1 = BC = AC = 1$

三角形ABCは正三角形ではなく二等辺三角形である。

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$