長方形ABCDがあり、点Pは頂点Dを出発し、毎秒2cmの速さで辺DA, AB, BCの順に頂点Cまで動きます。点Pが頂点Dを出発してから$x$秒後の三角形CPDの面積を$y$ cm$^2$とします。 (1) 点Pが辺DA上、辺AB上、辺BC上を動く場合について、$x$と$y$の関係を式で表し、また$x$の変域を求めます。 (2) 点Pが頂点Dから頂点Cまで動くときの$x$と$y$の関係をグラフに表します。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、点Pは頂点Dを出発し、毎秒2cmの速さで辺DA, AB, BCの順に頂点Cまで動きます。点Pが頂点Dを出発してから$x$秒後の三角形CPDの面積を$y$ cm$^2$とします。

(1) 点Pが辺DA上、辺AB上、辺BC上を動く場合について、$x$と$y$の関係を式で表し、また$x$の変域を求めます。

(2) 点Pが頂点Dから頂点Cまで動くときの$x$と$y$の関係をグラフに表します。

2. 解き方の手順

(1)

① 辺DA上

点Pが辺DA上にあるとき、$0 \le x \le 2$です。

三角形CPDの底辺はCDで長さは20cm、高さはDPで長さは$2x$ cmです。したがって、面積$y$は

$y = \frac{1}{2} \times 20 \times 2x = 20x$

$x$の変域は$0 \le x \le 2$

② 辺AB上

点Pが辺AB上にあるとき、$2 \le x \le 12$です。

三角形CPDの底辺はCDで長さは20cm、高さはADで長さは4cmです。したがって、面積$y$は

$y = \frac{1}{2} \times 20 \times 4 = 40$

$x$の変域は$2 \le x \le 12$

③ 辺BC上

点Pが辺BC上にあるとき、$12 \le x \le 14$です。

三角形CPDの底辺はCDで長さは20cm、高さはPCです。

PCの長さは$28-2x$ cmなので、

$y = \frac{1}{2} \times 20 \times (28-2x) = 10(28-2x) = 280-20x$

$x$の変域は$12 \le x \le 14$

(2)

グラフは、以下のようになります。

- $0 \le x \le 2$のとき、$y = 20x$（原点を通る直線）

- $2 \le x \le 12$のとき、$y = 40$（水平な直線）

- $12 \le x \le 14$のとき、$y = 280-20x$（直線）

3. 最終的な答え

(1)

① 辺DA上

$y = 20x$, $0 \le x \le 2$

② 辺AB上

$y = 40$, $2 \le x \le 12$

③ 辺BC上

$y = 280-20x$, $12 \le x \le 14$

(2)グラフ（説明）：

- (0,0)から(2,40)まで直線

- (2,40)から(12,40)まで水平な直線

- (12,40)から(14,0)まで直線