問題は2つあります。 (1) $\sin(A+B)-\sin C=0$ を証明せよ。ただし、A, B, Cは三角形ABCの内角である。 (2) $\tan \frac{A+B}{2} \tan \frac{C}{2} = 1$ を証明せよ。ただし、A, B, Cは三角形ABCの内角である。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\sin(A+B)-\sin C=0$ を証明せよ。ただし、A, B, Cは三角形ABCの内角である。

(2) $\tan \frac{A+B}{2} \tan \frac{C}{2} = 1$ を証明せよ。ただし、A, B, Cは三角形ABCの内角である。

2. 解き方の手順

(1)

三角形の内角の和は180°なので、$A+B+C=180^\circ$が成り立ちます。したがって、$A+B = 180^\circ - C$ となります。

$\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C$

したがって、$\sin(A+B) - \sin C = \sin C - \sin C = 0$となります。

(2)

三角形の内角の和は180°なので、$A+B+C=180^\circ$が成り立ちます。したがって、$A+B = 180^\circ - C$ となります。

$\frac{A+B}{2} = \frac{180^\circ - C}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$

$\tan \frac{A+B}{2} = \tan(90^\circ - \frac{C}{2}) = \cot \frac{C}{2} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$

したがって、$\tan \frac{A+B}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}} \tan \frac{C}{2} = 1$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sin(A+B)-\sin C = 0$が証明されました。

(2) $\tan \frac{A+B}{2} \tan \frac{C}{2} = 1$が証明されました。