半径6の円において、弦ACと弦BDが交わっている。その交点の角度が70°のとき、弧ABと弧DCの長さの和を求める。

1. 問題の内容

半径6の円において、弦ACと弦BDが交わっている。その交点の角度が70°のとき、弧ABと弧DCの長さの和を求める。

2. 解き方の手順

円の中心をOとする。

弧ABの中心角を$\angle AOB$、弧DCの中心角を$\angle DOC$とする。

円周角の定理より、$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB$、$\angle DBC = \frac{1}{2} \angle DOC$である。

$\angle APB = 70^\circ$とすると、対頂角なので$\angle DPC = 70^\circ$となる。

三角形の内角の和は180°なので、$\angle DPC = \angle DBC + \angle ACB$ が成り立つ。

したがって、$70^\circ = \frac{1}{2} \angle DOC + \frac{1}{2} \angle AOB$である。

$\angle DOC + \angle AOB = 2 \times 70^\circ = 140^\circ$となる。

弧長は、$l = r\theta$（$\theta$はラジアン）で表される。

ここで、半径$r = 6$であり、$\angle DOC + \angle AOB = 140^\circ$ である。

$140^\circ$をラジアンに変換すると、$\frac{140}{180} \pi = \frac{7}{9}\pi$ となる。

弧AB + 弧DC = $6 \times \frac{7}{9}\pi = \frac{14}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{14}{3}\pi$