ベクトル $\vec{A} = 2\vec{i} + 3\vec{j} - \vec{k}$ とベクトル $\vec{B} = -2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 (1) $\vec{A} \times \vec{B}$ を求める。 (2) $\vec{B} \times \vec{A}$ を求め、$\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}$ であることを確認する。 (3) $|\vec{A} \times \vec{B}|$ を求める。 (4) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角 $\theta$ を求める。

## 問題6-3

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{A} = 2\vec{i} + 3\vec{j} - \vec{k}$ とベクトル $\vec{B} = -2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

(1) $\vec{A} \times \vec{B}$ を求める。

(2) $\vec{B} \times \vec{A}$ を求め、$\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}$ であることを確認する。

(3) $|\vec{A} \times \vec{B}|$ を求める。

(4) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの外積の定義を用いて $\vec{A} \times \vec{B}$ を計算する。

$\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y) \vec{i} + (A_z B_x - A_x B_z) \vec{j} + (A_x B_y - A_y B_x) \vec{k}$

ここで、$\vec{A} = (2, 3, -1)$、$\vec{B} = (-2, 1, 2)$ なので、

$\vec{A} \times \vec{B} = (3(2) - (-1)(1))\vec{i} + ((-1)(-2) - 2(2))\vec{j} + (2(1) - 3(-2))\vec{k} = 7\vec{i} - 2\vec{j} + 8\vec{k}$

(2) 同様に、$\vec{B} \times \vec{A}$ を計算する。

$\vec{B} \times \vec{A} = (B_y A_z - B_z A_y) \vec{i} + (B_z A_x - B_x A_z) \vec{j} + (B_x A_y - B_y A_x) \vec{k}$

$\vec{B} \times \vec{A} = (1(-1) - 2(3))\vec{i} + (2(2) - (-2)(-1))\vec{j} + (-2(3) - 1(2))\vec{k} = -7\vec{i} + 2\vec{j} - 8\vec{k}$

$\vec{A} \times \vec{B} = 7\vec{i} - 2\vec{j} + 8\vec{k}$ であるから、$\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}$ が成り立つ。

(3) $\vec{A} \times \vec{B} = (7, -2, 8)$ の大きさは、

$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{7^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$

(4) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角 $\theta$ を求める。

$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos{\theta}$ より、

$\cos{\theta} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$

$\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(-2) + (3)(1) + (-1)(2) = -4 + 3 - 2 = -3$

$|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

$|\vec{B}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$\cos{\theta} = \frac{-3}{\sqrt{14} \cdot 3} = -\frac{1}{\sqrt{14}}$

$\theta = \arccos(-\frac{1}{\sqrt{14}})$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{A} \times \vec{B} = 7\vec{i} - 2\vec{j} + 8\vec{k}$

(2) $\vec{B} \times \vec{A} = -7\vec{i} + 2\vec{j} - 8\vec{k}$、$\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}$ であることを確認

(3) $|\vec{A} \times \vec{B}| = 3\sqrt{13}$

(4) $\theta = \arccos(-\frac{1}{\sqrt{14}})$