点O(0,0), A(3,1), B(7,5) が与えられたとき、以下の2つの問題を解きます。 (1) ベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$がつくる平行四辺形の面積$S$を求めます。 (2) 三角形OABの面積$S_1$を求めます。

1. 問題の内容

点O(0,0), A(3,1), B(7,5) が与えられたとき、以下の2つの問題を解きます。

(1) ベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$がつくる平行四辺形の面積$S$を求めます。

(2) 三角形OABの面積$S_1$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形の面積$S$は、ベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$の外積の絶対値で求められます。$\overrightarrow{OA}=(3,1)$, $\overrightarrow{OB}=(7,5)$なので、

$S = |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = |(3 \times 5) - (1 \times 7)| = |15 - 7| = |8| = 8$

(2) 三角形OABの面積$S_1$は、平行四辺形の面積$S$の半分で求められます。

$S_1 = \frac{1}{2}S = \frac{1}{2} \times 8 = 4$

あるいは、三角形OABの面積は、ベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$から計算できます。

$S_1 = \frac{1}{2} |(3 \times 5) - (1 \times 7)| = \frac{1}{2} |15 - 7| = \frac{1}{2} |8| = \frac{1}{2} \times 8 = 4$

3. 最終的な答え

(1) 平行四辺形の面積 $S = 8$

(2) 三角形OABの面積 $S_1 = 4$