図のように、正方形$ABCO$があり、$A$は$x$軸上、$B$は$(3, 3)$、$C$は$y$軸上、$O$は原点である。点$P(-1, 0)$を通る直線①がある。 問1：辺$AB$と直線①の交点を$Q$とする。三角形$AQP$の面積が2のとき、点$Q$の座標を求めよ。 問2：辺$CB$と直線①の交点を$R$とする。$PR=RA$となるとき、直線①の式を求めよ。

1. 問題の内容

図のように、正方形$ABCO$があり、$A$は$x$軸上、$B$は$(3, 3)$、$C$は$y$軸上、$O$は原点である。点$P(-1, 0)$を通る直線①がある。

問1：辺$AB$と直線①の交点を$Q$とする。三角形$AQP$の面積が2のとき、点$Q$の座標を求めよ。

問2：辺$CB$と直線①の交点を$R$とする。$PR=RA$となるとき、直線①の式を求めよ。

2. 解き方の手順

問1：

点$A$の座標は$(3, 0)$である。点$Q$は辺$AB$上にあるので、$x$座標は3である。点$Q$の$y$座標を$q$とすると、$Q(3, q)$と表せる。

三角形$AQP$の面積は、$\frac{1}{2} \times AP \times |Qのy座標|$となる。$AP = 3 - (-1) = 4$なので、

$\frac{1}{2} \times 4 \times q = 2$

$2q = 2$

$q = 1$

よって、点$Q$の座標は$(3, 1)$である。

問2：

点$R$は辺$CB$上にあるので、$R(r, 3)$と表せる。

$PR = \sqrt{(r - (-1))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(r + 1)^2 + 9}$

$RA = \sqrt{(r - 3)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(r - 3)^2 + 9}$

$PR = RA$より、

$\sqrt{(r + 1)^2 + 9} = \sqrt{(r - 3)^2 + 9}$

$(r + 1)^2 + 9 = (r - 3)^2 + 9$

$(r + 1)^2 = (r - 3)^2$

$r^2 + 2r + 1 = r^2 - 6r + 9$

$8r = 8$

$r = 1$

よって、点$R$の座標は$(1, 3)$である。

直線①は点$P(-1, 0)$と点$R(1, 3)$を通るので、直線の傾きは$\frac{3 - 0}{1 - (-1)} = \frac{3}{2}$である。

直線①の式を$y = \frac{3}{2}x + b$とおく。

点$P(-1, 0)$を通るので、$0 = \frac{3}{2} \times (-1) + b$より、$b = \frac{3}{2}$となる。

よって、直線①の式は$y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$である。

3. 最終的な答え

問1：点$Q$の座標は$(3, 1)$

問2：直線①の式は$y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$