3辺の長さが3, 4, $x$ である三角形について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $x$ のとり得る値の範囲を求めます。 (2) この三角形が鋭角三角形となるような $x$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

3辺の長さが3, 4, $x$ である三角形について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $x$ のとり得る値の範囲を求めます。

(2) この三角形が鋭角三角形となるような $x$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の成立条件より、任意の2辺の和が残りの1辺より大きければよいので、以下の3つの不等式が成立する必要があります。

$3 + 4 > x$

$3 + x > 4$

$4 + x > 3$

これらの不等式を解くと、以下のようになります。

$x < 7$

$x > 1$

$x > -1$

$x$ は辺の長さなので正である必要があります。したがって、$x > 0$ であり、$x > 1$ かつ $x < 7$ となるので、$1 < x < 7$ が $x$ のとり得る値の範囲です。

(2) 三角形が鋭角三角形となる条件は、$a^2 + b^2 > c^2$ を満たすことです。ここで、$a$, $b$, $c$ は三角形の3辺の長さであり、$c$ が最も長い辺です。

3, 4, $x$ が鋭角三角形となる場合を考えます。

- $x$ が最大の辺であるとき、$3^2 + 4^2 > x^2$ が成立する必要があります。

$9 + 16 > x^2$

$25 > x^2$

$x^2 < 25$

$x < 5$

- 4 が最大の辺であるとき、$3^2 + x^2 > 4^2$ が成立する必要があります。

$9 + x^2 > 16$

$x^2 > 7$

$x > \sqrt{7}$

したがって、$\sqrt{7} < x < 5$ が鋭角三角形となる $x$ の値の範囲です。

3. 最終的な答え

(1) $1 < x < 7$

(2) $\sqrt{7} < x < 5$