直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = \sqrt{6}$, $AD = \sqrt{3}$, $AE = 2$ である。頂点Bから三角形AFCに下ろした垂線をBIとするとき、BIの長さを求める問題です。答えは分数で、分子は$\sqrt{ }$ の形になっています。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = \sqrt{6}$, $AD = \sqrt{3}$, $AE = 2$ である。頂点Bから三角形AFCに下ろした垂線をBIとするとき、BIの長さを求める問題です。答えは分数で、分子は$\sqrt{ }$ の形になっています。

2. 解き方の手順

まず、三角形AFCの面積を求めます。

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$

$AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 2^2} = \sqrt{6 + 4} = \sqrt{10}$

$CF = \sqrt{BC^2 + BF^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7}$

ヘロンの公式を用いて三角形AFCの面積Sを求めます。

$s = \frac{AC + AF + CF}{2} = \frac{3 + \sqrt{10} + \sqrt{7}}{2}$

$S = \sqrt{s(s-AC)(s-AF)(s-CF)}$

あるいは、もっと簡単な方法があります。

$AF = \sqrt{10}, FC = \sqrt{7}, AC = 3$

$AF^2 = 10, FC^2 = 7, AC^2 = 9$

$AF^2 + FC^2 = 10 + 7 = 17 > 9 = AC^2$なので三角形AFCは鋭角三角形

三角形AFCの面積は、直方体ABCD-EFGHから４つの三角形ABF, BCF, CAF, ABCを除いたものなので

$V = \sqrt{6}\sqrt{3}2 = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$

４面体ABCFの体積Vは$\frac{1}{3}S*BI$であり、$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{\sqrt{6}\sqrt{3}2}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

４面体ABCFの体積を求めます。これは直方体から、三角形ABF、BCF, ACF, ABCを切り取ったものです。

$ABCF = \frac{1}{6} (\sqrt{6} \sqrt{3} 2) = \frac{2\sqrt{18}}{6} = \frac{2 \times 3 \sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}$

$\frac{1}{3}S \cdot BI = \sqrt{2}$ なので、$BI = \frac{3 \sqrt{2}}{S}$

$S = \frac{\sqrt{19}}{2} AC = \frac{\sqrt{19} 3}{2}$

ゆえに $BI = \frac{3 \sqrt{2}}{ \frac{9\sqrt{19}}{4}} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \sqrt{\frac{1}{S}}$

また別な方法で求める。三角形ABCの面積を底面とする立体ABCFの体積は

$V= \frac{1}{3}Area ABC * AE = \frac{1}{3}*\frac{1}{2}\sqrt{18} * 2 = \frac{\sqrt{18}}{3} = \sqrt{2}$

$BI = \frac{3V}{S} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{3\sqrt{19}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{38}}{19}$

$\frac{2\sqrt{38}}{19}$を求める

3. 最終的な答え

$BI = \frac{2 \sqrt{38}}{19}$

エ = 2

オ = 38

カ = 19