直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB=\sqrt{6}$、$AD=\sqrt{3}$、$AE=2$であるとき、三角形AFCの面積Sを求める。答えは$S = \frac{ア\sqrt{イ}}{ウ}$の形で答える。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB=\sqrt{6}$、$AD=\sqrt{3}$、$AE=2$であるとき、三角形AFCの面積Sを求める。答えは$S = \frac{ア\sqrt{イ}}{ウ}$の形で答える。

2. 解き方の手順

まず、三角形AFCの各辺の長さを求める。

$AF$, $AC$, $CF$はそれぞれ直角三角形の斜辺であるから、三平方の定理を用いる。

$AF^2 = AE^2 + EF^2 = AE^2 + AB^2 = 2^2 + (\sqrt{6})^2 = 4 + 6 = 10$

よって、$AF = \sqrt{10}$

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = AB^2 + AD^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2 = 6 + 3 = 9$

よって、$AC = 3$

$CF^2 = BC^2 + BF^2 = AD^2 + AE^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 = 3 + 4 = 7$

よって、$CF = \sqrt{7}$

三角形AFCの面積をヘロンの公式で求める。

$s = \frac{AF + AC + CF}{2} = \frac{\sqrt{10} + 3 + \sqrt{7}}{2}$

$S = \sqrt{s(s-AF)(s-AC)(s-CF)} = \sqrt{\frac{\sqrt{10}+3+\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{-\sqrt{10}+3+\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}-3+\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}+3-\sqrt{7}}{2}}$

しかし、ヘロンの公式を使うと計算が複雑になるため、別の方法を考える。

点Aから平面EFGHに下ろした垂線の足はEである。三角形AFCを底面と見て、Aから底面に下ろした垂線の長さを考えるのが難しい。

三角形AFCにおいて、$AC=3$なので、線分ACを底辺と考えると、$AC=3$。点Fから線分ACに下ろした垂線の長さを求めれば面積を計算できる。しかし、これも難しい。

余弦定理を用いて、$\angle FAC$を求める。

$CF^2 = AF^2 + AC^2 - 2AF \cdot AC \cos{\angle FAC}$

$7 = 10 + 9 - 2\sqrt{10} \cdot 3 \cos{\angle FAC}$

$6\sqrt{10} \cos{\angle FAC} = 12$

$\cos{\angle FAC} = \frac{12}{6\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

$\sin^2{\angle FAC} = 1 - \cos^2{\angle FAC} = 1 - \frac{10}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

$\sin{\angle FAC} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

$S = \frac{1}{2}AF \cdot AC \sin{\angle FAC} = \frac{1}{2} \sqrt{10} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{3\sqrt{150}}{10} = \frac{3\sqrt{25 \cdot 6}}{10} = \frac{3 \cdot 5 \sqrt{6}}{10} = \frac{15\sqrt{6}}{10} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3\sqrt{6}}{2}$

ア = 3

イ = 6

ウ = 2