正三角形ABCがあり、一辺の長さは10cmです。辺BC上に点P、辺AC上に点Qがあり、$\angle APQ = 60^\circ$を満たします。$BP = 4$cmのとき、以下の問いに答えてください。 (1) AP:PQの比を求めてください。 (2) CQの長さを求めてください。

## 6.6の問題

1. 問題の内容

正三角形ABCがあり、一辺の長さは10cmです。辺BC上に点P、辺AC上に点Qがあり、$\angle APQ = 60^\circ$を満たします。$BP = 4$cmのとき、以下の問いに答えてください。

(1) AP:PQの比を求めてください。

(2) CQの長さを求めてください。

2. 解き方の手順

(1) AP:PQの比を求める

まず、$\angle ABC = \angle ACB = \angle BAC = 60^\circ$です。

$\angle APQ = 60^\circ$なので、$\angle APB = 180^\circ - \angle APQ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\triangle ABP$において、$\angle BAP = 180^\circ - \angle APB - \angle ABP = 180^\circ - 120^\circ - 60^\circ = 0$

これはありえないため、$\angle PAB = 180^\circ - 60^\circ - (180^\circ - \angle APB) = 180^\circ - 60^\circ - (180^\circ - \angle APQ) = 180^\circ - 60^\circ - \angle APB$とします

$\angle QPC=180^\circ - \angle APQ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\angle AQP = 180^\circ - \angle APQ - \angle PAQ$なので

$\angle PQC = 180^\circ - \angle AQP = 180^\circ - (180^\circ - \angle APQ - \angle PAQ)$

$\angle PQC = \angle APQ + \angle PAQ$

$\triangle ABP$において、$AP = AB \frac{\sin{\angle ABP}}{\sin{\angle APB}}$

$AP = 10 \frac{\sin{60^\circ}}{\sin{(180^\circ - 60^\circ)}} = 10\frac{\sin{60^\circ}}{\sin{60^\circ}}=10$

$\triangle PQC$において $\angle QPC = 180 - 60=120^\circ$。$\angle PCQ = 60^\circ$ なので、$\angle PQC = 0^\circ$

PとQが同じ点なので、$BP = 4$, $CQ = 0$

$\triangle ABC$と$\triangle PBQ$は相似です

$\angle ABC = \angle PBQ = 60^\circ$, $\angle BAC = \angle BPQ = 60^\circ$なので

したがって、$\angle APQ = \angle C = 60^\circ$

$\frac{AP}{BC} = \frac{BP}{AC} = \frac{AB}{PQ}$

$\frac{AP}{10} = \frac{4}{10}$なので、$AP = 4$

$\frac{4}{10} = \frac{10}{PQ}$

$PQ = \frac{100}{4} = 25$

$AP:PQ = 4:25$

(2) CQの長さを求める

$\triangle APQ \sim \triangle ABC$とします

$AP = AB - PB = 10 - 4 = 6$

$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC} = \frac{AP}{10} = \frac{6}{10}$

$AQ = \frac{6}{10} * AC = \frac{6}{10} * 10 = 6$

したがって $CQ = AC - AQ = 10 - 6 = 4$

3. 最終的な答え

(1) AP:PQ = 6:10 = 3:5

(2) CQ = 4 cm