(1), (2) の図で $x$ の値を求め、(3) の図で $AI:ID$ を求める問題です。

1. 問題の内容

(1), (2) の図で $x$ の値を求め、(3) の図で $AI:ID$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 方べきの定理より、$AD \cdot AC = AB^2$ が成り立ちます。よって、

$4 \cdot (4+3) = 6^2$

$4 \cdot 7 = 36$

$28 = 36$

これは成り立ちません。問題文の数字が間違っているか、作図が不正確です。ここでは、方べきの定理が成り立つと仮定して $x$ を求めます。$AD = 4$ cm, $DC = x$ cm とします。

$AD \cdot AC = AB^2$

$4 \cdot (4+x) = 6^2$

$4(4+x) = 36$

$16+4x = 36$

$4x = 20$

$x = 5$

(2) 方べきの定理より、$AD \cdot AC = AB^2$ が成り立ちます。よって、

$x \cdot (x+7) = 8^2$

$x^2 + 7x = 64$

$x^2 + 7x - 64 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64)}}{2}$

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 256}}{2}$

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{305}}{2}$

$x > 0$ より、

$x = \frac{-7 + \sqrt{305}}{2}$

(3) 角の二等分線の性質より、$AB:AC = BD:DC$ が成り立ちます。よって、

$6:4 = BD:2$

$4BD = 12$

$BD = 3$

したがって、$BC = BD + DC = 3 + 2 = 5$ です。

次に、$AI$ と $ID$ の比を求めます。角の二等分線の定理より、$BA:DA = BI:ID$ なので、$AI:ID$ を求めるためには、$BA:DA$を求めれば良いことになります。

$AD=5$なので、$BA:DA= 6:5$

従って、$AI:ID = 6:5$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 5$ cm

(2) $x = \frac{-7 + \sqrt{305}}{2}$ cm

(3) $AI:ID = 6:5$