長方形ABCDが平面αに垂直に立っており、AB = 6cm、BC = 4cmである。辺CDから8cm離れた平面α上の点Hから平面αに垂直に8cmの位置に点P（光源）がある。光源Pによる長方形ABCDの影をCB'A'Dとする。 (1) HD:DA'の比を求める。 (2) 影の面積を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDが平面αに垂直に立っており、AB = 6cm、BC = 4cmである。辺CDから8cm離れた平面α上の点Hから平面αに垂直に8cmの位置に点P（光源）がある。光源Pによる長方形ABCDの影をCB'A'Dとする。

(1) HD:DA'の比を求める。

(2) 影の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) HD:DA'の比を求める。

点Aから平面αに下ろした垂線の足をA'とする。同様に、点B, Cから平面αに下ろした垂線の足をB', C'とする。このとき、A'B'C'Dは長方形ABCDの影である。

三角形PHDと三角形PAA'は相似である。なぜなら、∠PHD = ∠PAA' = 90度であり、∠HPD = ∠APA'（共通の角）であるからである。

したがって、HD:AA' = PH:PAとなる。

$HD = 8cm$であり、$PH = 8cm$である。AA'は長方形ABCDのABの長さに等しいので、$AA' = 6cm$である。PAは三平方の定理より、

$PA = \sqrt{PH^2 + HA^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10cm$となる。

したがって、$8:DA' = 8:10$

$HD:DA' = PH:PA = 8:10 = 4:5$

ゆえに、$DA'= 10 cm$。

(2) 影の面積を求める。

影の面積は長方形CB'A'Dの面積である。

長方形ABCDは平面αと垂直であるので、影CB'A'Dは長方形ではなく平行四辺形になる。

$CB' = CB = 4cm$である。なぜなら、CBは平面αに平行な辺であるためである。

$DA'$を底辺とすると、高さはBCの長さと同じであるので、4 cmである。

$DA' = 10cm$

$Area = DA' \times BC = 10 \times 4 = 40 cm^2$

3. 最終的な答え

(1) HD:DA' = 4:5

(2) 影の面積 = 40 cm^2