原点Oから伸びる3つのベクトル$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$があり、それぞれの長さは$|\overrightarrow{OA}|=2$, $|\overrightarrow{OB}|=3$, $|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{5}$である。また、$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$が成り立つ。 (1) $\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$のなす角$\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$)に対して、$\sin\theta$の値を求めよ。 (2) $\triangle ABC$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

原点Oから伸びる3つのベクトル$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$があり、それぞれの長さは$|\overrightarrow{OA}|=2$, $|\overrightarrow{OB}|=3$, $|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{5}$である。また、$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$が成り立つ。

(1) $\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$のなす角$\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$)に対して、$\sin\theta$の値を求めよ。

(2) $\triangle ABC$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$より、$\overrightarrow{OC} = -(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$である。

両辺の絶対値の2乗を計算する。

$|\overrightarrow{OC}|^2 = |-(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})|^2 = |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|^2$

$|\overrightarrow{OC}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2 + 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OB}|^2$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\theta$であるから、

$|\overrightarrow{OC}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2 + 2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\theta + |\overrightarrow{OB}|^2$

これに、$|\overrightarrow{OA}|=2$, $|\overrightarrow{OB}|=3$, $|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{5}$を代入して$\cos\theta$を求める。

$(\sqrt{5})^2 = 2^2 + 2(2)(3)\cos\theta + 3^2$

$5 = 4 + 12\cos\theta + 9$

$12\cos\theta = -8$

$\cos\theta = -\frac{2}{3}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (-\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$より$\sin\theta \ge 0$だから、$\sin\theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(2) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2|\overrightarrow{AC}|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = -(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) - \overrightarrow{OA} = -2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$

$|\overrightarrow{AB}|^2 = (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = |\overrightarrow{OB}|^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OA}|^2 = 3^2 - 2(2)(3)(-\frac{2}{3}) + 2^2 = 9 + 8 + 4 = 21$

$|\overrightarrow{AC}|^2 = (-2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) \cdot (-2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = 4|\overrightarrow{OA}|^2 + 4\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OB}|^2 = 4(2^2) + 4(2)(3)(-\frac{2}{3}) + 3^2 = 16 - 16 + 9 = 9$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \cdot (-2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = -2\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA} - |\overrightarrow{OB}|^2 + 2|\overrightarrow{OA}|^2 + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -|\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}| - |\overrightarrow{OB}|^2 + 2|\overrightarrow{OA}|^2 = -(2)(3)(-\frac{2}{3}) - 3^2 + 2(2^2) = 4 - 9 + 8 = 3$

$\triangle ABC = \frac{1}{2}\sqrt{(21)(9) - (3)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{189 - 9} = \frac{1}{2}\sqrt{180} = \frac{1}{2} \sqrt{36 \cdot 5} = \frac{1}{2} (6\sqrt{5}) = 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(2) $\triangle ABC = 3\sqrt{5}$