4点 A(-1, 3), B(2, 1), C(11, b), D(a, 1) があり、四角形 ABCD が平行四辺形であるとき、a, b の値を求め、さらに、辺 AB, 辺 AD の長さ、対角線 AC と BD の長さを求める。

1. 問題の内容

4点 A(-1, 3), B(2, 1), C(11, b), D(a, 1) があり、四角形 ABCD が平行四辺形であるとき、a, b の値を求め、さらに、辺 AB, 辺 AD の長さ、対角線 AC と BD の長さを求める。

2. 解き方の手順

平行四辺形では、対辺が平行かつ等しい。したがって、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ かつ $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ が成り立つ。

$\overrightarrow{AB} = (2 - (-1), 1 - 3) = (3, -2)$

$\overrightarrow{DC} = (11 - a, b - 1)$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ より、

$3 = 11 - a$

$-2 = b - 1$

これらの式から $a$ と $b$ を求める。

$a = 11 - 3 = 8$

$b = -2 + 1 = -1$

よって、$a = 8$, $b = -1$ である。

次に、辺 AB の長さを求める。

$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

次に、辺 AD の長さを求める。

$AD = \sqrt{(a - (-1))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(8 - (-1))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{9^2 + (-2)^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}$

次に、対角線 AC の長さを求める。

$AC = \sqrt{(11 - (-1))^2 + (b - 3)^2} = \sqrt{(11 + 1)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{12^2 + (-4)^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$

次に、対角線 BD の長さを求める。

$BD = \sqrt{(a - 2)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(8 - 2)^2 + 0^2} = \sqrt{6^2} = 6$

3. 最終的な答え

$a = 8$

$b = -1$

$AB = \sqrt{13}$

$AD = \sqrt{85}$

$AC = 4\sqrt{10}$

$BD = 6$