直線 $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ (①) と $y = -x + 4$ (②) があります。点Aは①と②の交点です。直線①と②がx軸と交わる点をそれぞれB, Cとします。 (1) 点Aの座標を求めなさい。 (2) 線分BCの長さを求めなさい。 (3) 線分BCが対角線となる平行四辺形ABPCを作るとき、直線PCの式を求めなさい。

## 問題6

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ (①) と $y = -x + 4$ (②) があります。点Aは①と②の交点です。直線①と②がx軸と交わる点をそれぞれB, Cとします。

(1) 点Aの座標を求めなさい。

(2) 線分BCの長さを求めなさい。

(3) 線分BCが対角線となる平行四辺形ABPCを作るとき、直線PCの式を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標

点Aは2直線の交点なので、連立方程式を解きます。

$y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ (①)

$y = -x + 4$ (②)

①と②を連立して $y$ を消去します。

$\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} = -x + 4$

両辺を2倍して整理します。

$x + 5 = -2x + 8$

$3x = 3$

$x = 1$

$x = 1$ を ② に代入して $y$ を求めます。

$y = -1 + 4 = 3$

よって、点Aの座標は (1, 3) です。

(2) 線分BCの長さ

点Bは $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ (①) とx軸の交点なので、$y = 0$ を代入してxを求めます。

$0 = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

$0 = x + 5$

$x = -5$

点Bの座標は (-5, 0) です。

点Cは $y = -x + 4$ (②) とx軸の交点なので、$y = 0$ を代入してxを求めます。

$0 = -x + 4$

$x = 4$

点Cの座標は (4, 0) です。

線分BCの長さは、点Bと点Cのx座標の差の絶対値で求められます。

$BC = |4 - (-5)| = |4 + 5| = 9$

(3) 直線PCの式

平行四辺形ABPCにおいて、BCが対角線なので、線分APと線分BCは平行です。

また、線分ABと線分PCは平行です。

点Aの座標は (1, 3), 点Cの座標は (4, 0) なので、直線PCは点Cを通り、直線ABと平行な直線です。

直線ABの傾きを求めます。点A(1, 3), 点B(-5, 0) なので、

傾き $= \frac{3 - 0}{1 - (-5)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

直線PCの傾きは $\frac{1}{2}$ なので、$y = \frac{1}{2}x + b$ と表せます。

点C(4, 0) を通るので、

$0 = \frac{1}{2} \cdot 4 + b$

$0 = 2 + b$

$b = -2$

よって、直線PCの式は $y = \frac{1}{2}x - 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) 点Aの座標: (1, 3)

(2) 線分BCの長さ: 9

(3) 直線PCの式: $y = \frac{1}{2}x - 2$