直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = \sqrt{6}$, $AD = \sqrt{3}$, $AE = 2$であるとき、頂点Bから三角形AFCに下ろした垂線BIの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = \sqrt{6}$, $AD = \sqrt{3}$, $AE = 2$であるとき、頂点Bから三角形AFCに下ろした垂線BIの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形AFCの面積を求めます。

そのためには、AF, FC, CAの長さを求める必要があります。

* $AF = \sqrt{AE^2 + EF^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{4 + 6} = \sqrt{10}$

* $FC = \sqrt{FG^2 + GC^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$

* $CA = \sqrt{CD^2 + DA^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$

したがって、三角形AFCは$AF=\sqrt{10}, FC=3, CA=3$の二等辺三角形です。

ヘロンの公式を用いて面積を求めます。

$s = \frac{\sqrt{10} + 3 + 3}{2} = \frac{6 + \sqrt{10}}{2} = 3 + \frac{\sqrt{10}}{2}$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(3+\frac{\sqrt{10}}{2})(3+\frac{\sqrt{10}}{2}-\sqrt{10})(3+\frac{\sqrt{10}}{2}-3)(3+\frac{\sqrt{10}}{2}-3)}$

$= \sqrt{(3+\frac{\sqrt{10}}{2})(3-\frac{\sqrt{10}}{2})(\frac{\sqrt{10}}{2})^2} = \sqrt{(9-\frac{10}{4})(\frac{10}{4})} = \sqrt{(\frac{36-10}{4})(\frac{10}{4})} = \sqrt{\frac{26}{4} \cdot \frac{10}{4}} = \sqrt{\frac{260}{16}} = \frac{\sqrt{65 \cdot 4}}{4} = \frac{2\sqrt{65}}{4} = \frac{\sqrt{65}}{2}$

次に、四面体ABFCの体積を考えます。

これは、直方体ABCD-EFGHから四面体AEFB, BFGC, CFHD, DAHCを除いたものと考えられます。

または、三角錐C-ABFの体積と考えることもできます。

四面体ABFCの体積は、三角錐B-AFCの体積と考えることができます。

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{AFC} \cdot BI = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{65}}{2} \cdot BI$

一方、四面体ABFCの体積は、四面体C-ABFの体積としても計算できます。

三角形ABFを底面とすると、

$S_{ABF} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot 2 = \sqrt{6}$

高さはBCなので、$BC = AD = \sqrt{3}$

$V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{18}}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$

したがって、

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{65}}{2} \cdot BI = \sqrt{2}$

$BI = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{65}} = \frac{6\sqrt{2}\sqrt{65}}{65} = \frac{6\sqrt{130}}{65}$

3. 最終的な答え

BI = $\frac{6\sqrt{130}}{65}$

よって、

エ=6, オ=130, カ=65

BI = $\frac{6\sqrt{130}}{65}$