問題1は、一直線上に並んだ4点A, B, C, Dに関する比の問題です。 (1) $AB:BC = 2:3$ かつ $BC:CD = 2:1$ のとき、$AB:BC:CD$ を求めます。 (2) $AB:BD = 2:3$ かつ $AC:CD = 5:1$ のとき、$AB:BC:CD$ を求めます。 問題2は、 $AB // DF$ である図において、与えられた比から他の線分の比を求める問題です。 (1) $AC:AF = 2:7$ かつ $DE:EF = 4:1$ のとき、$AB:FD$ を求めます。 (2) $AC:AF = 2:7$ かつ $DE:EF = 4:1$ のとき、$BG:GE$ を求めます。 (3) $AC:AF = 2:7$ かつ $DE:EF = 4:1$ のとき、$AC:CG:GF$ を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

問題1は、一直線上に並んだ4点A, B, C, Dに関する比の問題です。

(1) $AB:BC = 2:3$ かつ $BC:CD = 2:1$ のとき、$AB:BC:CD$ を求めます。

(2) $AB:BD = 2:3$ かつ $AC:CD = 5:1$ のとき、$AB:BC:CD$ を求めます。

問題2は、 $AB // DF$ である図において、与えられた比から他の線分の比を求める問題です。

(1) $AC:AF = 2:7$ かつ $DE:EF = 4:1$ のとき、$AB:FD$ を求めます。

(2) $AC:AF = 2:7$ かつ $DE:EF = 4:1$ のとき、$BG:GE$ を求めます。

(3) $AC:AF = 2:7$ かつ $DE:EF = 4:1$ のとき、$AC:CG:GF$ を求めます。

2. 解き方の手順

**問題1 (1)**

$AB:BC = 2:3$、 $BC:CD = 2:1$ より、$BC$ を共通の比にするために、それぞれの比を調整します。

$AB:BC = 2:3 = 4:6$

$BC:CD = 2:1 = 6:3$

よって、$AB:BC:CD = 4:6:3$

**問題1 (2)**

$AB:BD = 2:3$、 $AC:CD = 5:1$ より、$BD = AB + BC$ なので、$BC = BD - AB$です。

$AB:BD = 2:3$ より、$BD = \frac{3}{2}AB$です。

$BC = BD - AB = \frac{3}{2}AB - AB = \frac{1}{2}AB$です。

したがって、$AB:BC = AB : \frac{1}{2}AB = 2:1$です。

また、$AC:CD = 5:1$ より、$AC = 5CD$です。

$AD = AC + CD = 5CD + CD = 6CD$ です。

また、$AD = AB + BC + CD$なので、$6CD = AB + \frac{1}{2}AB + CD$です。

$5CD = \frac{3}{2}AB$なので、$CD = \frac{3}{10}AB$です。

$AB:BC:CD = AB : \frac{1}{2}AB : \frac{3}{10}AB = 10:5:3$

**問題2 (1)**

$AB // DF$より、$\triangle ABC \sim \triangle FGC$です。したがって、$AC:FC = BC:GC$ となります。

また、$\triangle ABE \sim \triangle FDE$です。したがって、$AB:FD = AE:FE$ となります。

$AC:AF = 2:7$より、$AC = 2x$、$AF = 7x$とおくと、$CF = AF - AC = 7x - 2x = 5x$です。

したがって、$AC:CF = 2x:5x = 2:5$です。

$DE:EF = 4:1$より、$AE:EF = AF-EF:EF$です。

$AF = \frac{7}{2}AC$なので、$AE:EF = (\frac{7}{2}AC - EF):EF$

ここで平行線と線分の比の定理より、$AB/FD = AE/EF = AC/CF$

$AB:FD = AC:CF = 2:5$

**問題2 (2)**

$AB // DF$より、$\triangle ABC \sim \triangle FGC$です。したがって、$AC:FC = BC:GC = 2:5$ となります。

$\triangle ABE \sim \triangle FDE$より、$AB:FD = AE:EF = AC:CF = 2:5$です。

$DE:EF = 4:1$なので、$AD と BF の交点を G とすると、$\triangle ABG \sim \triangle FDG$です。

よって、$BG:GF = AB:FD = 2:5$です。

$\triangle FDE$において、$DE:EF = 4:1$です。

メネラウスの定理より、

$\frac{AC}{CF} \times \frac{FE}{ED} \times \frac{DG}{GA} = 1$

$\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{DG}{GA} = 1$

$\frac{DG}{GA} = 10$

したがって、$AG:GD = 1:10$ です。

$BG:GE$ を求める。

$\triangle ABE \sim \triangle FDE$より、$BE:DE=AE:FE$です。

また、$AE:FE = AF-EF:EF = \frac{7}{2}AC - EF:EF$

$DE:EF = 4:1$より、$DE = 4EF$

$AE/EF = 2/5 = AB/FD$

$AG:GD = 1:10$より、$AG = x$、$GD = 10x$とおける。

$BG:GE$を求めるために、再びメネラウスの定理を使用します。$\triangle ADE$と直線$BF$について、

$\frac{AF}{FC} \times \frac{CG}{GD} \times \frac{DB}{BA} = 1$が成り立ちます。

**問題2 (3)**

$\triangle ABC \sim \triangle FGC$より、$AC:FC = CG:BC = AG:FG = 2:5$です。

$AC:AF = 2:7$なので、$CF:AC = 5:2$です。

$AC:CG:GF$を求めるためには、$CG:GF$を求める必要があります。

$AG:FG = 2:5$なので、$AF = AG + GF$なので、

$AC : CG : GF =$

3. 最終的な答え

問題1 (1): $AB:BC:CD = 4:6:3$

問題1 (2): $AB:BC:CD = 10:5:3$

問題2 (1): $AB:FD = 2:5$

問題2 (2): 計算中

問題2 (3): 計算中