(1) $\triangle OAB$ と $\triangle OCD$ の相似条件を述べる。 (2) $OA:AC = 1:1$ のとき、$AB:CD$ の比を求める。 (3) $OA = 2cm, AC = 3cm, OD = 4.5cm, CD = 5cm$ のとき、$AB$ と $OB$ の長さを求める。

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. 図において、$AB // CD$ であるとき、以下の問いに答えます。

(1) $\triangle OAB$ と $\triangle OCD$ の相似条件を述べる。

(2) $OA:AC = 1:1$ のとき、$AB:CD$ の比を求める。

(3) $OA = 2cm, AC = 3cm, OD = 4.5cm, CD = 5cm$ のとき、$AB$ と $OB$ の長さを求める。

2. 図において、$AB // CD$ であるとき、以下の問いに答えます。

(1) $AO:OD$ の比を求める。

(2) $CD$ の長さを求める。

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2. 解き方の手順

### 1.の問題

(1) $\triangle OAB$ と $\triangle OCD$ において、

$AB // CD$ より、

$\angle OAB = \angle OCD$ （錯角が等しい）

$\angle OBA = \angle ODC$ （錯角が等しい）

2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle OAB \sim \triangle OCD$

(2) $OA:AC = 1:1$ より、$OC = OA + AC = OA + OA = 2OA$ となります。したがって、$OA:OC = 1:2$ となります。

$\triangle OAB \sim \triangle OCD$ より、$AB:CD = OA:OC = 1:2$

(3) $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ より、$OA:OC = AB:CD = OB:OD$ が成り立ちます。

$OA = 2cm, AC = 3cm$ より、$OC = OA + AC = 2 + 3 = 5cm$

$AB:CD = OA:OC$ に代入すると、$AB:5 = 2:5$ となり、$AB = 2cm$ となります。

$OB:OD = OA:OC$ に代入すると、$OB:4.5 = 2:5$ となり、$OB = (2/5) \times 4.5 = 1.8cm$ となります。

### 2.の問題

(1) $\triangle OAB$ と $\triangle OCD$ において、$AB // CD$ より、

$\angle OAB = \angle OCD$ （錯角が等しい）

$\angle OBA = \angle ODC$ （錯角が等しい）

2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle OAB \sim \triangle OCD$

よって、$AO:CO = BO:DO$ であり、$AB:CD = 12:CD$

$AO:CO = 10:15 = 2:3$

また、$AO:AD= 2:5$ なので

$AO : OD = 2 : 3$

(2) $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ より、$AB:CD = AO:CO$ が成り立ちます。

$AB = 12cm$, $AO:CO = 2:3$ より、$12:CD = 2:3$ となり、$CD = (3/2) \times 12 = 18cm$ となります。

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3. 最終的な答え

### 1.の問題

(1) 2組の角がそれぞれ等しい

(2) $1:2$

(3) $AB = 2cm$, $OB = 1.8cm$

### 2.の問題

(1) $AO:OD = 2:3$

(2) $CD = 18cm$