## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

* **1:** 各図において、$DE // BC$であるとき、$x$と$y$の長さを求めよ。（3つの図があります）

* **2:** 図において、$AB // CD // EF$であるとき、次の2つの問いに答えよ。

* (1) $AE:ED$の比を求めよ。

* (2) $EF$の長さを求めよ。

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2. 解き方の手順

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1. (1) の解き方**

$DE // BC$なので、$\triangle ADE$と$\triangle ABC$は相似です。したがって、対応する辺の比は等しくなります。

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

この問題では、$AD = 6, AB = 6+3 = 9, AE = x, AC = x+2, DE = y, BC = 8$です。

$\frac{6}{9} = \frac{x}{x+2} = \frac{y}{8}$

まず、$\frac{6}{9} = \frac{x}{x+2}$を解きます。

$6(x+2) = 9x$

$6x + 12 = 9x$

$3x = 12$

$x = 4$

次に、$\frac{6}{9} = \frac{y}{8}$を解きます。

$9y = 6 \times 8$

$9y = 48$

$y = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$

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1. (2) の解き方**

$DE // BC$なので、$\triangle ADE$と$\triangle ABC$は相似です。同様に$\triangle AEF$と$\triangle ABC$は相似です。

$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{BC}$

この問題では、$AE=x, AD=24, BC = 70, DE = y, AC=42, AB=56$です。

$\frac{24}{42} = \frac{x}{56} = \frac{y}{70}$

まず、$\frac{24}{42} = \frac{x}{56}$を解きます。

$42x = 24 \times 56$

$x = \frac{24 \times 56}{42} = \frac{4 \times 56}{7} = 4 \times 8 = 32$

次に、$\frac{24}{42} = \frac{y}{70}$を解きます。

$42y = 24 \times 70$

$y = \frac{24 \times 70}{42} = \frac{24 \times 10}{6} = 4 \times 10 = 40$

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1. (3) の解き方**

$\triangle ABD$と$\triangle ABC$が相似であるためには、$\angle BAD = \angle BAC$である必要があります。

この問題では、$\angle BAD$と$\angle CAD$が与えられていません。

$AD$は$\angle BAC$の二等分線であると仮定します。

角の二等分線の定理から、

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$

$\frac{6}{x} = \frac{4}{5}$

$4x=30$

$x=\frac{30}{4}=\frac{15}{2}$

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2. (1) の解き方**

$AB // CD // EF$なので、相似な三角形が複数できます。

$\triangle ABE$と$\triangle CDE$において、対頂角は等しいので、$\angle AEB = \angle CED$。また、平行線の錯角より、$\angle ABE = \angle CDE$。したがって、$\triangle ABE \sim \triangle CDE$。

$\frac{AE}{ED} = \frac{AB}{CD} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

したがって、$AE : ED = 3:2$

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2. (2) の解き方**

$EF$の長さを$x$とします。

$AB // EF$なので、$\triangle ABD$と$\triangle EFD$は相似です。

$\frac{EF}{AB} = \frac{ED}{AD}$

$CD // AB$なので、

$\frac{AE}{AD} = \frac{AB}{AB+CD}$

$\frac{AE}{ED} = \frac{3}{2}$なので、$AE = \frac{3}{2}ED$

$AD = AE + ED = \frac{3}{2}ED + ED = \frac{5}{2}ED$

$\frac{ED}{AD} = \frac{2}{5}$

したがって、$\frac{EF}{AB} = \frac{x}{15} = \frac{2}{5}$

$5x = 30$

$x = 6$

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3. 最終的な答え

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1. (1)**

$x = 4$

$y = \frac{16}{3}$

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1. (2)**

$x = 32$

$y = 40$

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1. (3)**

$x=\frac{15}{2}$

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2. (1)**

$AE:ED = 3:2$

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2. (2)**

$EF = 6 \text{ cm}$