(1) $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる鋭角 $\theta$ の値を求め、$\sin \theta = \frac{3}{4}$ となる鋭角 $\theta$ の範囲を、選択肢1～6の中から選ぶ。 (2) $\triangle ABC$ が鈍角三角形であり、$\angle BAC$ が鋭角で、$\sin \angle BAC = \frac{3}{4}$、 $BC = \sqrt{3}$、$CA = 2$のとき、$\sin \angle ABC$ の値を求め、辺 $AB$ の長さを求める。

1. 問題の内容

(1) $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる鋭角 $\theta$ の値を求め、$\sin \theta = \frac{3}{4}$ となる鋭角 $\theta$ の範囲を、選択肢1～6の中から選ぶ。

(2) $\triangle ABC$ が鈍角三角形であり、$\angle BAC$ が鋭角で、$\sin \angle BAC = \frac{3}{4}$、 $BC = \sqrt{3}$、$CA = 2$のとき、$\sin \angle ABC$ の値を求め、辺 $AB$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる鋭角 $\theta$ の値を求める。これは基本的な三角比の値として知られており、$\theta = 30^{\circ}$である。

次に、$\sin \theta = \frac{3}{4}$ となる鋭角 $\theta$ の範囲を求める。

$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} = 0.5$ であり、$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ である。

$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ である。

$\frac{3}{4} = 0.75$ であるので、$\sin \theta = \frac{3}{4}$ となる $\theta$ は $45^{\circ} < \theta < 60^{\circ}$ の範囲にある。

(2)

$\sin \angle BAC = \frac{3}{4}$であるから、余弦定理を用いて$\cos \angle BAC$を求める。

$\cos^2 \angle BAC + \sin^2 \angle BAC = 1$ より、

$\cos^2 \angle BAC = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\angle BAC$ は鋭角であるから、$\cos \angle BAC > 0$ であるので、

$\cos \angle BAC = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cdot \cos \angle BAC$

$(\sqrt{3})^2 = AB^2 + 2^2 - 2AB \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$3 = AB^2 + 4 - AB\sqrt{7}$

$AB^2 - AB\sqrt{7} + 1 = 0$

解の公式より、

$AB = \frac{\sqrt{7} \pm \sqrt{(\sqrt{7})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{\sqrt{7} \pm \sqrt{7-4}}{2} = \frac{\sqrt{7} \pm \sqrt{3}}{2}$

$AB = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$ または $AB = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$

$\triangle ABC$ が鈍角三角形である条件から、$\angle ABC$ または $\angle ACB$ が鈍角となる。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = \frac{CA}{\sin \angle ABC}$

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{\sin \angle ABC}$

$\sin \angle ABC = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AB = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$ のとき、$CA = 2, BC = \sqrt{3}$ より、$\angle ABC = 60^\circ$、$\angle BAC < 90^\circ$ なので $\angle ACB > 90^\circ$ となる。

$AB = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$\angle ACB = 180 - (\angle BAC + \angle ABC)$ より、$\angle ABC = 60^\circ$、$\angle BAC < 90^\circ$ なので $\angle ACB$ は鈍角とならない。

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

ア: 30

イ: 4

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AB = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$