座標平面上に2点 $A(-1, 2)$、$B(5, 5)$ がある。原点Oを中心とし、直線ABに接する円をCとする。点Bから円Cへ引いた2本の接線のうち、直線ABでない方を直線$l$とする。 (1) 直線ABの方程式を求める。 (2) 円Cの方程式を求める。また、接線$l$の方程式を求める。 (3) 線分OB上に中心があり、直線OA, ABの両方に接する円Kの方程式を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に2点 $A(-1, 2)$、$B(5, 5)$ がある。原点Oを中心とし、直線ABに接する円をCとする。点Bから円Cへ引いた2本の接線のうち、直線ABでない方を直線$l$とする。

(1) 直線ABの方程式を求める。

(2) 円Cの方程式を求める。また、接線$l$の方程式を求める。

(3) 線分OB上に中心があり、直線OA, ABの両方に接する円Kの方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの方程式を求める。

2点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ を通る直線の方程式は、

$\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

である。

$A(-1, 2)$、$B(5, 5)$ を代入すると、

$\frac{y - 2}{x - (-1)} = \frac{5 - 2}{5 - (-1)}$

$\frac{y - 2}{x + 1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$2(y - 2) = x + 1$

$2y - 4 = x + 1$

$x - 2y + 5 = 0$

(2) 円Cの方程式を求める。

円Cは原点Oを中心とする円で、直線ABに接するので、円の半径は原点と直線ABとの距離に等しい。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ との距離は、

$\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられる。

したがって、円Cの半径rは、

$r = \frac{|1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

円Cの方程式は、

$x^2 + y^2 = (\sqrt{5})^2$

$x^2 + y^2 = 5$

次に、接線lの方程式を求める。

円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点B(5, 5)は円上にない。Bは円外の点。

直線ABの方程式は$x - 2y + 5 = 0$

$l$はBを通り、傾きをmとすると、$y - 5 = m(x - 5)$ つまり、$mx - y - 5m + 5 = 0$

原点からの距離が$\sqrt{5}$なので

$\frac{|-5m + 5|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$

$(-5m + 5)^2 = 5(m^2 + 1)$

$25m^2 - 50m + 25 = 5m^2 + 5$

$20m^2 - 50m + 20 = 0$

$2m^2 - 5m + 2 = 0$

$(2m - 1)(m - 2) = 0$

$m = \frac{1}{2}, 2$

$m = \frac{1}{2}$ のとき、$x - 2y + 5 = 0$ となるので、$m = 2$

$l$: $y - 5 = 2(x - 5)$

$y = 2x - 10 + 5$

$y = 2x - 5$

$2x - y - 5 = 0$

(3) 円Kの方程式を求める。

円Kの中心は線分OB上にあるので、$(t, t)$ とおくことができる。

また、円Kは直線OA, ABに接する。

OA: $y = -2x$ つまり、$2x + y = 0$

AB: $x - 2y + 5 = 0$

円Kの半径をrとすると

$\frac{|2t + t|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|3t|}{\sqrt{5}} = r$

$\frac{|t - 2t + 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-t + 5|}{\sqrt{5}} = r$

$|3t| = |-t + 5|$

$3t = -t + 5$ or $3t = t - 5$

$4t = 5$ or $2t = -5$

$t = \frac{5}{4}$ or $t = -\frac{5}{2}$

$t = \frac{5}{4}$ のとき、中心 $(\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$、$r = \frac{|3 \cdot \frac{5}{4}|}{\sqrt{5}} = \frac{15}{4\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{4}$

$t = -\frac{5}{2}$ のとき、中心 $(-\frac{5}{2}, -\frac{5}{2})$、$r = \frac{|-3 \cdot \frac{5}{2}|}{\sqrt{5}} = \frac{15}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$

円Kの中心は線分OB上にあるので、$0 \le t \le 5$ より $t = \frac{5}{4}$

円Kの方程式は、$(x - \frac{5}{4})^2 + (y - \frac{5}{4})^2 = (\frac{3\sqrt{5}}{4})^2 = \frac{45}{16}$

3. 最終的な答え

(1) 直線ABの方程式: $x - 2y + 5 = 0$

(2) 円Cの方程式: $x^2 + y^2 = 5$, 接線lの方程式: $2x - y - 5 = 0$

(3) 円Kの方程式: $(x - \frac{5}{4})^2 + (y - \frac{5}{4})^2 = \frac{45}{16}$