2つの直線 $y = x + 4$ (直線①) と $y = -x + 8$ (直線②) がある。直線①と②の交点をA、直線②と$x$軸の交点をBとする。点Aから$x$軸に下ろした垂線の足をCとする。線分AB上に点Pを取り、点Pから$x$軸に下ろした垂線の足をQとする。 (1) 点Aと点Bの座標をそれぞれ求めよ。 (2) 台形ACQPの面積が16であるとき、点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = x + 4$ (直線①) と $y = -x + 8$ (直線②) がある。直線①と②の交点をA、直線②と$x$軸の交点をBとする。点Aから$x$軸に下ろした垂線の足をCとする。線分AB上に点Pを取り、点Pから$x$軸に下ろした垂線の足をQとする。

(1) 点Aと点Bの座標をそれぞれ求めよ。

(2) 台形ACQPの面積が16であるとき、点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標を求める。

点Aは直線①と直線②の交点なので、連立方程式

$y = x + 4$

$y = -x + 8$

を解けば良い。$x + 4 = -x + 8$ より、$2x = 4$ なので、$x = 2$。$y = 2 + 4 = 6$。

したがって、点Aの座標は(2, 6)。

点Bの座標を求める。

点Bは直線②と$x$軸の交点なので、$y = -x + 8$ に $y = 0$ を代入すると、 $0 = -x + 8$。よって、$x = 8$。

したがって、点Bの座標は(8, 0)。

(2) 点Pの座標を求める。

点Pは線分AB上にあるので、点Pの$x$座標を$t$とすると、直線②の式に代入して、$y = -t + 8$。つまり、点Pの座標は$(t, -t + 8)$。

点Aの$x$座標は2なので、ACの長さは6。PQの長さは$-t + 8$。CQの長さは$t - 2$。

台形ACQPの面積は、

$\frac{1}{2}(AC + PQ) \times CQ = \frac{1}{2}(6 + (-t + 8)) \times (t - 2) = \frac{1}{2}(14 - t)(t - 2)$

これが16になるので、

$\frac{1}{2}(14 - t)(t - 2) = 16$

$(14 - t)(t - 2) = 32$

$14t - 28 - t^2 + 2t = 32$

$-t^2 + 16t - 60 = 0$

$t^2 - 16t + 60 = 0$

$(t - 6)(t - 10) = 0$

$t = 6$ または $t = 10$。

点Pは線分AB上にあるので、$2 \leq t \leq 8$。したがって、$t = 6$。

点Pの$y$座標は$-t + 8 = -6 + 8 = 2$。

よって、点Pの座標は(6, 2)。

3. 最終的な答え

(1) A(2, 6), B(8, 0)

(2) (6, 2)