2つの平面 $x - y + 2z + 3 = 0$ と $y - z + 2 = 0$ のなす角を求める。

1. 問題の内容

2つの平面 $x - y + 2z + 3 = 0$ と $y - z + 2 = 0$ のなす角を求める。

2. 解き方の手順

平面の法線ベクトルを利用して、2つの平面のなす角を求める。

平面 $ax + by + cz + d = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n} = (a, b, c)$ である。

平面 $x - y + 2z + 3 = 0$ の法線ベクトル $\vec{n_1}$ は

$$\vec{n_1} = (1, -1, 2)$$

平面 $y - z + 2 = 0$ の法線ベクトル $\vec{n_2}$ は

$$\vec{n_2} = (0, 1, -1)$$

2つのベクトルのなす角 $\theta$ は

$$\cos{\theta} = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$$

で求められる。

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(0) + (-1)(1) + (2)(-1) = 0 - 1 - 2 = -3$

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$

したがって

$$\cos{\theta} = \frac{-3}{\sqrt{6} \sqrt{2}} = \frac{-3}{\sqrt{12}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$$

$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{5\pi}{6}$ である。

しかし、平面のなす角は通常、鋭角で表すため、

$$\theta' = \pi - \theta = \pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$$

となる。

したがって、求める角は $\frac{\pi}{6}$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$