円周上に4点A, B, C, Dがあり、ACとBDの交点をPとする。弧AB:弧BC:弧CD:弧DA = 3:2:2:1のとき、以下の角度を求めよ。 (1) ∠ABD (2) ∠BAC (3) ∠BPC

はい、承知しました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

円周上に4点A, B, C, Dがあり、ACとBDの交点をPとする。弧AB:弧BC:弧CD:弧DA = 3:2:2:1のとき、以下の角度を求めよ。

(1) ∠ABD

(2) ∠BAC

(3) ∠BPC

2. 解き方の手順

まず、円周全体に対する各弧の割合を求める。弧の比の合計は3+2+2+1=8なので、円周は8等分されていると考える。

(1) ∠ABDについて：

∠ABDは弧ADに対する円周角である。弧ADの割合は1/8なので、∠ABDは円周角定理より、中心角の半分、つまり、円周の1/8の角度になる。円周は360°なので、∠ABD = (1/8) * 360° = 45°

(2) ∠BACについて：

∠BACは弧BCに対する円周角である。弧BCの割合は2/8 = 1/4なので、∠BACは円周角定理より、中心角の半分、つまり、円周の1/4の角度になる。円周は360°なので、∠BAC = (1/4) * 360° = 90/2 = 45/2 = 22.5°。

(3) ∠BPCについて：

∠BPCは三角形BPAの外角と見ることができる。したがって、∠BPC = ∠BAC + ∠ABDである。

∠BPC = 22.5° + 45° = 67.5°

3. 最終的な答え

(1) ∠ABD = 45°

(2) ∠BAC = 22.5°

(3) ∠BPC = 67.5°