点A(2, 5), B(8, -3), C(3, 0), D(-2, 8), E($\frac{7}{3}$, $\frac{21}{4}$), F(2 + $\sqrt{2}$, 1 + $\sqrt{2}$), G($\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$) が与えられたとき、ベクトル $\overrightarrow{AF}$ と $\overrightarrow{CF}$ の内積 $\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{CF}$ を求める。

1. 問題の内容

点A(2, 5), B(8, -3), C(3, 0), D(-2, 8), E($\frac{7}{3}$, $\frac{21}{4}$), F(2 + $\sqrt{2}$, 1 + $\sqrt{2}$), G($\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$) が与えられたとき、ベクトル $\overrightarrow{AF}$ と $\overrightarrow{CF}$ の内積 $\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{CF}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\overrightarrow{AF}$ と $\overrightarrow{CF}$ を成分で表す。

$\overrightarrow{AF} = \vec{F} - \vec{A} = (2 + \sqrt{2} - 2, 1 + \sqrt{2} - 5) = (\sqrt{2}, \sqrt{2} - 4)$

$\overrightarrow{CF} = \vec{F} - \vec{C} = (2 + \sqrt{2} - 3, 1 + \sqrt{2} - 0) = (\sqrt{2} - 1, 1 + \sqrt{2})$

次に、内積 $\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{CF}$ を計算する。

$\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{CF} = (\sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 4)(1 + \sqrt{2})$

$= (2 - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} + 2 - 4 - 4\sqrt{2})$

$= 2 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2 - 4 - 4\sqrt{2}$

$= 0 - 4\sqrt{2}$

$= -4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{CF} = -4\sqrt{2}$