$\vec{AB} = (-6, -4)$ が与えられているとき、線分ABを $1:4$ に外分する点Pに対して、ベクトル $\vec{BP}$ を求める。

1. 問題の内容

$\vec{AB} = (-6, -4)$ が与えられているとき、線分ABを $1:4$ に外分する点Pに対して、ベクトル $\vec{BP}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Pが線分ABを $1:4$ に外分するという条件をベクトルで表す。外分点の公式より、

$\vec{AP} = \frac{-4\vec{OA} + 1\vec{OB}}{1 - 4} = \frac{-4\vec{OA} + \vec{OB}}{-3}$

$\vec{OP} = \frac{-4\vec{OA} + \vec{OB}}{-3}$

$\vec{OP} = \frac{4}{3}\vec{OA} - \frac{1}{3}\vec{OB}$

ここで、 $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ であるから、 $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}$ となる。これを $\vec{OP}$ の式に代入すると、

$\vec{OP} = \frac{4}{3}\vec{OA} - \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{AB}) = \frac{4}{3}\vec{OA} - \frac{1}{3}\vec{OA} - \frac{1}{3}\vec{AB} = \vec{OA} - \frac{1}{3}\vec{AB}$

次に、求めるベクトル $\vec{BP}$ を $\vec{OP}$ と $\vec{OB}$ で表す。

$\vec{BP} = \vec{OP} - \vec{OB}$

$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}$ を代入して、

$\vec{BP} = (\vec{OA} - \frac{1}{3}\vec{AB}) - (\vec{OA} + \vec{AB}) = -\frac{4}{3}\vec{AB}$

問題文より $\vec{AB} = (-6, -4)$ なので、

$\vec{BP} = -\frac{4}{3}(-6, -4) = (8, \frac{16}{3})$

3. 最終的な答え

$\vec{BP} = (8, \frac{16}{3})$