点A, Bの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}$で与えられているとき、線分ABを1:4に内分する点Wの位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す。

1. 問題の内容

点A, Bの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}$で与えられているとき、線分ABを1:4に内分する点Wの位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

内分点の公式を用いる。線分ABをm:nに内分する点をPとすると、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、

$$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$$

で表される。

今回の問題では、m=1, n=4であるから、線分ABを1:4に内分する点Wの位置ベクトル$\vec{w}$は、

$$\vec{w} = \frac{4\vec{a} + 1\vec{b}}{1+4}$$

$$\vec{w} = \frac{4\vec{a} + \vec{b}}{5}$$

3. 最終的な答え

点Wの位置ベクトルは $\frac{4\vec{a} + \vec{b}}{5}$