四面体OABCにおいて、辺OA, AB, OCの中点をそれぞれD, E, Fとする。三角形DEFの重心をGとし、直線OGと平面ABCの交点をHとする。ベクトル$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$とするとき、ベクトル$\vec{OH}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表し、OG:GHを求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OA, AB, OCの中点をそれぞれD, E, Fとする。三角形DEFの重心をGとし、直線OGと平面ABCの交点をHとする。ベクトル$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$とするとき、ベクトル$\vec{OH}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表し、OG:GHを求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 点D, E, Fの位置ベクトルを求める。

DはOAの中点なので、$\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a}$.

EはABの中点なので、$\vec{OE} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$.

FはOCの中点なので、$\vec{OF} = \frac{1}{2}\vec{c}$.

ステップ2: 点Gの位置ベクトルを求める。

Gは三角形DEFの重心なので、

$\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OD} + \vec{OE} + \vec{OF}) = \frac{1}{3}(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{2}\vec{c}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$.

ステップ3: 点Hの位置ベクトルを求める。

Hは直線OG上にあるので、実数kを用いて$\vec{OH} = k\vec{OG}$と表せる。

$\vec{OH} = k(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}) = \frac{k}{3}\vec{a} + \frac{k}{6}\vec{b} + \frac{k}{6}\vec{c}$.

Hは平面ABC上にあるので、実数s, tを用いて$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$と表せる。

$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{AH} = \vec{a} + s(\vec{b} - \vec{a}) + t(\vec{c} - \vec{a}) = (1 - s - t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$.

係数比較を行うと、

$\frac{k}{3} = 1 - s - t$

$\frac{k}{6} = s$

$\frac{k}{6} = t$

これらの式から、$1 - s - t = 1 - \frac{k}{6} - \frac{k}{6} = 1 - \frac{k}{3}$となり、$\frac{k}{3} = 1 - \frac{k}{3}$となる。

よって、$\frac{2k}{3} = 1$より$k = \frac{3}{2}$.

$\vec{OH} = \frac{3}{2}(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$.

ステップ4: OG:GHを求める。

$\vec{OH} = \frac{3}{2}\vec{OG}$なので、$OH = \frac{3}{2}OG$.

よって、$OH = OG + GH$より、$\frac{3}{2}OG = OG + GH$.

$\frac{1}{2}OG = GH$.

したがって、$OG:GH = OG:\frac{1}{2}OG = 2:1$.

3. 最終的な答え

$\vec{OH} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

OG:GH = 2:1