$xy$平面において、方程式 $x^2 - 8y - 6x + 17 = 0$ が表す放物線の焦点の $x$ 座標を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面において、方程式 $x^2 - 8y - 6x + 17 = 0$ が表す放物線の焦点の $x$ 座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形し、放物線の標準形に直します。

$x^2 - 6x - 8y + 17 = 0$

$x^2 - 6x = 8y - 17$

$(x - 3)^2 - 9 = 8y - 17$

$(x - 3)^2 = 8y - 8$

$(x - 3)^2 = 8(y - 1)$

この式は、放物線 $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ の形をしています。

ここで、頂点は $(h, k) = (3, 1)$ であり、$4p = 8$ なので $p = 2$ です。

この放物線は $x^2 = 4py$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものです。

$x^2 = 4py$ の焦点は $(0, p)$ なので、$(0, 2)$ です。

したがって、平行移動後の焦点は $(3, 1+2) = (3, 3)$ となります。

問題文では焦点の $x$ 座標のみを求められているので、$3$ が答えです。

3. 最終的な答え

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