与えられた放物線の方程式 $y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$ の焦点のx座標を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた放物線の方程式 $y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$ の焦点のx座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を平方完成して、放物線の標準形に変形します。

$y^2 + 6y - 4x + 1 = 0$

$(y^2 + 6y) = 4x - 1$

$(y^2 + 6y + 9) = 4x - 1 + 9$

$(y + 3)^2 = 4x + 8$

$(y + 3)^2 = 4(x + 2)$

この式は、放物線の標準形 $(y - k)^2 = 4p(x - h)$ と比較できます。

ここで、$h = -2$, $k = -3$, $4p = 4$ ですから、$p = 1$となります。

この放物線は、$x$軸方向に開いており、頂点は $(-2, -3)$ です。

焦点は、頂点から$x$軸方向に$p$だけ離れた位置にあります。

したがって、焦点の座標は$(-2 + p, -3) = (-2 + 1, -3) = (-1, -3)$ となります。

問題で求められているのは焦点のx座標なので、答えは-1です。

3. 最終的な答え

-1